求解 lim x→0 的 sin(x)/x = 1

分步解答

1. 直接代入得到 $\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}$ — 未定式。

2. 套用 洛必达法则：分别对分子和分母求导。

3. 分子的导数：$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$。

4. 分母的导数：$\frac{d}{dx}x = 1$。

5. 极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$。

6. 这个极限非常重要，甚至有自己的名称：基本三角极限，是整个微积分的基石。