正四棱锥 T.ABCD 的底面棱长 AB = a cm，高为 t cm。P 在 AB 的延长线上且 BP = AB，Q 在 CB 的延长线上且 BQ = CB，K 在 TB 上且 TK = 2KB。平面 PQK 把这个棱锥截成两块，求每一块的体积。

Step-by-step solution

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   先给这个立体建坐标系。 把正方形底面放在平面 $z=0$ 上：$A(0,0,0)$、$B(a,0,0)$、$C(a,a,0)$、$D(0,a,0)$。正棱锥的顶点在底面中心正上方，所以 $T\left(\tfrac a2,\tfrac a2,t\right)$。整个棱锥的体积是 $V=\tfrac13 a^2t$。

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   把三个已知点定位。 把 $AB$ 越过 $B$ 再延长一个长度 $a$，得 $P(2a,0,0)$。把 $CB$ 越过 $B$ 延长 $a$，得 $Q(a,-a,0)$。由 $TK=2KB$ 知 $K$ 把 $TB$ 分成 $TK:KB=2:1$，所以 $K=T+\tfrac23(B-T)=\left(\tfrac{5a}{6},\tfrac a6,\tfrac t3\right)$。

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   求截面所在平面的方程。 为方便代数运算取 $a=t=1$，则 $\vec{PQ}=(-1,-1,0)$、$\vec{PK}=\left(-\tfrac76,\tfrac16,\tfrac13\right)$；它们的叉积与 $(1,-1,4)$ 成比例。于是平面是 $x-y+4z=2$，把 $Q$ 和 $K$ 代进去可确认两点都在其上。注意这个平面完全没碰到底面正方形（在 $z=0$ 上它是直线 $x-y=2$，而底面上处处有 $x-y\le 1$），所以截面只与四条侧棱相交。

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   求平面与每条侧棱的交点。 把每条棱的参数式代入 $x-y+4z=2$，得到：$TA$ 上的 $M$ 满足 $TM:TA=\tfrac12$；$TB$ 上的 $K$ 满足 $TK:TB=\tfrac23$；$TC$ 上的 $N$ 满足 $TN:TC=\tfrac12$；$TD$ 上的 $L$ 满足 $TL:TD=\tfrac25$。截面就是四边形 $MKNL$，而上面那一块是立体 $T.MKNL$。

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   把上面那块拆成两个四面体，再用比例法则。 对四面体来说，把从同一顶点出发的三条棱分别按 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 缩放，体积就按 $\lambda_1\lambda_2\lambda_3$ 缩放。由于 $T.ABC$ 与 $T.ACD$ 的体积各为 $\tfrac12 V=\tfrac16 a^2t$：$[T.MKN]=\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot\tfrac12\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{36}a^2t$，$[T.MNL]=\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac25\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{60}a^2t$。

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   把两个四面体加起来，再从整体里减掉。 $\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{60}=\tfrac{5}{180}+\tfrac{3}{180}=\tfrac{8}{180}=\tfrac{2}{45}$，所以含顶点的那一块体积是 $\tfrac{2}{45}a^2t$。另一块则是 $\tfrac13a^2t-\tfrac{2}{45}a^2t=\tfrac{15-2}{45}a^2t=\tfrac{13}{45}a^2t$。

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   用蒙特卡罗积分检验。 在单位尺寸的棱锥（$a=t=1$）里均匀抽取四百万个点，检验 $x-y+4z>2$，得到含顶点那块为 $0.04436$、另一块为 $0.28864$，而精确值是 $\tfrac{2}{45}=0.04444$ 与 $\tfrac{13}{45}=0.28889$。