在正四棱锥 T.ABCD 中，P 是 AD 的中点，Q 是 AB 的中点。过 PQ 作平行于棱 TA 的平面。求该平面把棱锥分成的两部分的体积之比。

Step-by-step solution

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   先建立坐标系。 取 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(1,1,0)$、$D(0,1,0)$，顶点 $T\left(\tfrac12,\tfrac12,1\right)$；体积之比与底面棱长和高都无关，所以用体积为 $\tfrac13$ 的单位棱锥就够了。于是 $P\left(0,\tfrac12,0\right)$、$Q\left(\tfrac12,0,0\right)$。

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   由两个条件把平面定出来。 它必须含有 $\vec{PQ}=\left(\tfrac12,-\tfrac12,0\right)$，且平行于 $\vec{TA}=\left(-\tfrac12,-\tfrac12,-1\right)$。两者的叉积与 $(1,1,-1)$ 成比例，所以平面是 $x+y-z=\tfrac12$。验一下：$\vec{TA}\cdot(1,1,-1)=-\tfrac12-\tfrac12+1=0$，说明平面确实平行于 $TA$，而且 $P$、$Q$ 都满足这个方程。

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   求出截面。 在底面 $z=0$ 上，平面截出的正是线段 $PQ$。棱 $TB$：平面交于它的中点 $R$；棱 $TD$：交于中点 $S$；棱 $TC$：交于满足 $TU:TC=\tfrac14$ 的点 $U$，即 $U\left(\tfrac58,\tfrac58,\tfrac34\right)$。棱 $TA$ 与平面平行，永远不相交。所以截面是五边形 $Q\,R\,U\,S\,P$。

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   判断各顶点落在哪一块。 取 $f(x,y,z)=x+y-z$，则 $f(A)=0$、$f(T)=0$，都小于 $\tfrac12$；而 $f(B)=f(D)=1$、$f(C)=2$ 都大于它。所以一块含有棱 $TA$，另一块含有 $B$、$C$、$D$。

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   按水平分层来算较小的那一块。 在高度 $z$ 处，棱锥的截面是边长 $L=1-z$ 的正方形 $x,y\in\left[\tfrac z2,1-\tfrac z2\right]$。作平移 $u=x-\tfrac z2$、$v=y-\tfrac z2$，条件 $x+y<\tfrac12+z$ 就化成 $u+v<\tfrac12$；于是当 $L\ge\tfrac12$ 时面积是 $\tfrac18$，接下来是 $L^2-\tfrac12\left(2L-\tfrac12\right)^2$，而一旦 $2L<\tfrac12$ 就变成 $L^2$。

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   把三段分别积出来。 $\int_0^{1/2}\tfrac18\,dz=\tfrac1{16}$；$\int_{1/2}^{3/4}\left[(1-z)^2-\tfrac12(1.5-2z)^2\right]dz=\tfrac{5}{192}$；$\int_{3/4}^{1}(1-z)^2dz=\tfrac{1}{192}$。合计为 $\tfrac{12}{192}+\tfrac{5}{192}+\tfrac{1}{192}=\tfrac{18}{192}=\tfrac{3}{32}$。

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   写出比值。 整个棱锥的体积是 $\tfrac13=\tfrac{32}{96}$，较小的一块是 $\tfrac{3}{32}=\tfrac{9}{96}$，于是另一块是 $\tfrac{23}{96}$，比值为 $9:23$。用六百万个样本做蒙特卡罗检验得到 $0.09378$，与精确值 $\tfrac{3}{32}=0.09375$ 相符。