把布尔函数 F = A′B′C′D′ + A′B′CD′ + A′BC′D + A′BCD′ + AB′C′D′ + AB′C′D + ABC′D′ + ABCD 化简为最简与或式。

Step-by-step solution

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   先把表达式转成最小项列表。 把每个乘积项读作 $4$ 位的 $ABCD$ 组合（带撇的字母取 $0$）：

   $A'B'C'D' = m_0, \ A'B'CD' = m_2, \ A'BC'D = m_5, \ A'BCD' = m_6$

   $AB'C'D' = m_8, \ AB'C'D = m_9, \ ABC'D' = m_{12}, \ ABCD = m_{15}$

   于是

   $F = \Sigma m(0, 2, 5, 6, 8, 9, 12, 15)$

   起始代价是 $8$ 个乘积项、$32$ 个文字。

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   列出全部质蕴涵项。 把相邻的最小项（只差一位的那些）合并，并只保留极大的组，得到七个质蕴涵项：

   $A'B'D'\,(0,2), \quad A'CD'\,(2,6), \quad B'C'D'\,(0,8), \quad AC'D'\,(8,12)$

   $AB'C'\,(8,9), \quad A'BC'D\,(5), \quad ABCD\,(15)$

   每一组都只含两格——整张图里找不出 $4$ 格的块，因为这些最小项里凑不出任何四个能在卡诺图上构成方块的格子。

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   找出本质蕴涵项。 最小项 $m_5$ 只被 $A'BC'D$ 覆盖，$m_{15}$ 只被 $ABCD$ 覆盖，所以这两个完整的最小项是本质的，必须出现。同样地，$m_6$ 只出现在 $A'CD'$ 里，$m_9$ 只在 $AB'C'$ 里，$m_{12}$ 只在 $AC'D'$ 里——这又是三个本质质蕴涵项。

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   把剩下的覆盖掉。 五个本质项 $A'BC'D$、$ABCD$、$A'CD'$、$AB'C'$、$AC'D'$ 合起来覆盖了 $\{2,5,6,8,9,12,15\}$，只剩 $m_0$。它可以由 $A'B'D'$ 或 $B'C'D'$ 任选一个来覆盖，两者规模都是二，所以恰好存在两个代价相同的最小覆盖。

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   写出最简与或式。 选 $A'B'D'$：

   $F = A'B'D' + A'CD' + A'BC'D + AB'C' + AC'D' + ABCD$

   同样最简的另一种写法是把 $A'B'D'$ 换成 $B'C'D'$。无论哪种，代价都是 $6$ 个乘积项、$20$ 个文字，比原来的 $8$ 项 $32$ 个文字有所下降。

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   对照完整真值表验证。 把化简后的表达式在全部 $16$ 种输入组合上求值，结果恰好在 $\{0,2,5,6,8,9,12,15\}$ 上为 $1$、其余为 $0$。化简幅度之所以有限，是结构性的原因：像 $m_5$（$0101$）和 $m_{15}$（$1111$）这样的最小项在集合里没有任何相邻项，所以不管怎么分组，它们都只能以四个文字的完整乘积项存活下来。