棱柱与长方体

立方体

$V = s^3$

边长的三次方。边长为 $s$ 的立方体可由 $s^3$ 个单位立方体堆成——单位正方形论证的三维版本。

长方体

$V = l \cdot w \cdot h$

长 × 宽 × 高。底面积 $l w$ ，叠 $h$ 层即得 $lwh$ 。

一般棱柱

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

底面积 × 高。由 Cavalieri 原理，截面与高相同的棱柱体积相等——三棱柱、六棱柱、斜棱柱都用这一条。

锥体与圆台

棱锥（一般）

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

同底等高棱柱体积的三分之一。"三分之一"来自把 $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ 从 0 积分到 $h$ ——截面随高度线性缩小。

圆锥

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

与棱锥同样的"三分之一"规则，底面为 $\pi r^2$ 的圆。三个等底等高的圆锥恰好填满一个圆柱。

圆台

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

上下两个平行圆面，半径分别为 $R$ （底）和 $r$ （顶），高 $h$ 。把大圆锥减去小圆锥即可推导， $Rr$ 项来自立方差公式。

圆柱

$V = \pi r^2 h$

一般棱柱的特例：圆形底 $\pi r^2$ 叠到高度 $h$ 。由 Cavalieri 原理，斜圆柱也用同一公式。

空心圆柱（管）

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

外圆柱体积减内圆柱体积——把圆环的相减技巧推广到三维。

球与椭球

球

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

著名的 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ 。阿基米德结论：球体积恰好是外接最小圆柱的 $\tfrac{2}{3}$ 。

半球

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

球体的一半，恰好是 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ 的一半。圆顶、碗以及积分计算时常用。

椭球

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

三个半轴 $a, b, c$ 。当 $a = b = c = r$ 时退化为球 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ ——球是椭球的特例。

圆环面（甜甜圈）

$V = 2\pi^2 R r^2$

主半径 $R$ （中心到管心），副半径 $r$ （管）。Pappus 定理：面积 $\pi r^2$ 沿周长 $2\pi R$ 的圆扫一圈。

体积 Formulas