四边形——面积公式

正方形

$A = s^2$

边长的平方。正方形是长宽相等的矩形，所以 $A = l\cdot w$ 化简为 $s^2$ 。

矩形

$A = l \cdot w$

长 × 宽。单位正方形铺砌论证：边长为整数 $l\times w$ 的矩形恰好可以铺满 $lw$ 个单位正方形。

平行四边形

$A = b \cdot h$

底 × 垂直高——不是斜边。把一端的三角形切下来挪到另一端，平行四边形就变成矩形。

菱形

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

两条对角线乘积的一半。对角线互相垂直平分，把菱形切成四个全等的直角三角形。

梯形

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

两条平行边 $a,b$ 的平均，再乘以高 $h$ 。把两个梯形头尾相接，就得到底为 $a+b$ 的平行四边形。

风筝形

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

与菱形相同的对角线公式——风筝形是更一般的图形，对角线仍然相互垂直。

三角形——按已知条件选择

底与高

$A = \tfrac{1}{2} b h$

底 × 高 ÷ 2，对任意三角形都成立。两个相同的三角形拼成底为 $b$ 、高为 $h$ 的平行四边形。

海伦公式（三边）

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

只知道三条边、没给高时用。 $s$ 是半周长。

两边及夹角 (SAS)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

从第三个顶点作高，高为 $a\sin C$ ，代回标准的 $\tfrac{1}{2}\cdot\text{底}\cdot\text{高}$ 。

等边三角形

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

SAS 公式当 $a=b$ 、 $C = 60^{\circ}$ 时的特例； $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 化出常数 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ 。

圆与曲线图形

圆

$A = \pi r^2$

$\pi r^2$ 。把圆周长 $2\pi r$ 从 0 积分到 $r$ （洋葱圈法）即得。

扇形

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

$\theta$ 用弧度。等于整圆面积 $\pi r^2$ 的 $\theta / (2\pi)$ 倍。

圆环

$A = \pi (R^2 - r^2)$

外圆面积减内圆面积——中间空洞通过相减处理。

椭圆

$A = \pi a b$

$\pi$ × 长半轴 $a$ × 短半轴 $b$ 。当 $a = b = r$ 即退化为圆面积 $\pi r^2$ 。

正多边形与坐标法

正 n 边形

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ 是周长， $a$ 是边心距（中心到边的垂直距离）。把多边形拆成 $n$ 个全等三角形即得。

正六边形

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

正六边形正好是 6 个边长为 $a$ 的等边三角形，所以 $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ 。

坐标法（鞋带公式）

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

按顺序代入顶点坐标 $(x_i, y_i)$ ，最后一项绕回首项（ $x_{n+1}=x_1$ ）。任何简单多边形都适用，不需要先三角剖分。

面积 Formulas