假设检验分步详解：从 H0 到 p 值

假设检验是统计推断的主力工具，从临床试验到网站的 A/B 测试，处处都在用它。然而它也是统计学中最被误解的话题。本指南把整条流程清晰地走一遍，让你真正明白 p 值到底意味着什么。

五个步骤

1. 陈述 $H_0$ 和 $H_1$：原假设（现状）和备择假设（你想支持的论断）。
2. 选定显著性水平 $\alpha$：通常是 0.05 或 0.01。
3. 从你的数据计算检验统计量（$z$、$t$、$\chi^2$ 等）。
4. 求 p 值：在 $H_0$ 为真的前提下，看到这样极端数据的概率。
5. 作出判断：若 $p < \alpha$，拒绝 $H_0$；否则不能拒绝。

注意："不能拒绝" ≠ "接受 $H_0$"。你只是没有足够的证据反对它而已。

单样本 z 检验（解题示例）

某工厂声称其灯泡平均寿命 1000 小时（$\sigma = 50$）。你检验了 25 个灯泡，测得 $\bar x = 980$。在 $\alpha = 0.05$ 下，这个声称被推翻了吗？

1. $H_0: \mu = 1000$，$H_1: \mu \ne 1000$。
2. $\alpha = 0.05$，双侧检验。
3. 检验统计量：$z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{980 - 1000}{50/\sqrt{25}} = \frac{-20}{10} = -2$。
4. p 值：$2 \cdot P(Z < -2) \approx 2 \cdot 0.0228 = 0.0456$。
5. 由于 $0.0456 < 0.05$，拒绝 $H_0$。平均寿命与 1000 小时有显著差异。

选对检验方法

情形	检验
一个均值，$\sigma$ 已知	单样本 z 检验
一个均值，$\sigma$ 未知，n 较小	单样本 t 检验
两个均值，独立样本	双样本 t 检验
两个配对均值	配对 t 检验
比例	比例的 z 检验
拟合优度 / 列联表	卡方

第一类错误 vs 第二类错误

• 第一类错误：拒绝一个为真的 $H_0$。概率 = $\alpha$。
• 第二类错误：没有拒绝一个为假的 $H_0$。概率 = $\beta$。
• 检验功效 = $1 - \beta$：正确检出真实效应的概率。

这三者一起联动：在样本量固定时，缩小 $\alpha$ 会抬高 $\beta$；增大样本量则会同时降低两者。

常见错误

• "p 值 = $H_0$ 为真的概率"——错误。p 值是 $P(\text{数据} \mid H_0)$，而不是 $P(H_0 \mid \text{数据})$。
• 多重比较——在 $\alpha = 0.05$ 下做 20 次检验，平均必然会出现约 1 个假阳性。要使用校正。
• 把显著性与重要性混为一谈——一个伴随巨大 $n$ 的微小效应可能在统计上高度显著，但在实践中无关紧要。

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相关参考：

• Z 分数计算器 — 每个 z 检验的基石
• 标准差计算器 — 离散程度的输入
• 正态分布计算器 — z 检验所假定的前提