AI Math
Mở ứng dụng

Máy Tính Tích Phân Suy Rộng

Tính tích phân suy rộng có cận vô hạn hoặc hàm dưới dấu tích phân không bị chặn bằng lời giải từng bước AI

Kéo & thả hoặc nhấp để thêm hình ảnh hoặc PDF

∑Math Input
integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

Tích Phân Suy Rộng Là Gì?

Một tích phân suy rộng là một tích phân xác định trong đó hoặc:

  1. Khoảng là vô hạn: ví dụ ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx hoặc ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. Hàm dưới dấu tích phân có tiệm cận đứng bên trong hoặc tại một đầu mút của khoảng: ví dụ ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

Trong cả hai trường hợp, tích phân Riemann chuẩn không xác định, nhưng đôi khi ta có thể gán một giá trị hữu hạn bằng giới hạn.

Nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn, tích phân suy rộng hội tụ. Nếu giới hạn vô hạn hoặc không tồn tại, tích phân phân kỳ.

Tích phân suy rộng là trọng tâm trong xác suất (hằng số chuẩn hóa), biến đổi Laplace và Fourier, và các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi.

Cách Tính Tích Phân Suy Rộng

Loại 1: Khoảng Vô Hạn

Thay vô cực bằng một giới hạn:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

Với cả hai cận vô hạn, tách tại điểm cc thuận tiện bất kỳ:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

Cả hai phần phải hội tụ độc lập — nếu không toàn bộ tích phân phân kỳ.

Loại 2: Hàm Dưới Dấu Tích Phân Không Bị Chặn

Nếu ff không bị chặn tại x=cx = c bên trong [a,b][a, b], tách và lấy giới hạn:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

Nếu điểm kỳ dị tại x=ax = a:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

Tiêu Chuẩn pp

∫1∞1xp dxhội tụ neˆˊu p>1, phaˆn kyˋ neˆˊu p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{hội tụ nếu } p > 1, \text{ phân kỳ nếu } p \leq 1

∫011xp dxhội tụ neˆˊu p<1, phaˆn kyˋ neˆˊu p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{hội tụ nếu } p < 1, \text{ phân kỳ nếu } p \geq 1

Số mũ tới hạn là p=1p = 1. Lưu ý quy tắc hội tụ đối lập cho hai trường hợp.

Tiêu Chuẩn So Sánh

Nếu 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) trên khoảng:

  • ∫g\int g hội tụ ⇒∫f\Rightarrow \int f hội tụ
  • ∫f\int f phân kỳ ⇒∫g\Rightarrow \int g phân kỳ

Hữu ích khi bản thân tích phân khó nhưng cận thì dễ.

Những Lỗi Thường Gặp Cần Tránh

  • Xem ∞\infty như một con số: Bạn không thể 'thay' ∞\infty vào. Bạn phải dùng giới hạn.
  • Bỏ sót điểm kỳ dị bên trong: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx có điểm kỳ dị tại 00 bên trong khoảng. Tính một cách ngây thơ cho 00 (sai) — tích phân thực ra phân kỳ.
  • Cộng các tích phân suy rộng từng phần 'triệt tiêu': ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — cả hai nửa phân kỳ, nên tích phân phân kỳ. 'Giá trị chính' là một khái niệm khác (yếu hơn).
  • Sai hướng tiêu chuẩn pp: Tại ∞\infty, 1/xp1/x^p hội tụ với p>1p > 1. Tại 00, nó hội tụ với p<1p < 1. Đây là đối lập — hãy ghi nhớ cả hai.
  • Quên kiểm tra hội tụ trước khi tích phân: Một tích phân suy rộng phân kỳ không có giá trị. Luôn kiểm tra hội tụ trước.

Examples

Step 1: Thay cận bằng giới hạn: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: Tính nguyên hàm: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: Áp dụng cận: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: Khi t→∞t \to \infty, e−t→0e^{-t} \to 0, nên giới hạn bằng 11
Answer: 11 (hội tụ)

Step 1: Áp dụng tiêu chuẩn pp với p=1p = 1: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx hội tụ khi và chỉ khi p>1p > 1
Step 2: Ở đây p=1p = 1, nên tích phân phân kỳ
Step 3: Kiểm chứng bằng giới hạn: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: Phân kỳ

Step 1: Điểm kỳ dị tại x=0x = 0. Dùng tiêu chuẩn pp tại 00: 1/xp1/x^p hội tụ khi và chỉ khi p<1p < 1
Step 2: Ở đây p=1/2<1p = 1/2 < 1, nên nó hội tụ
Step 3: Tính: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (hội tụ)

Frequently Asked Questions

Một tích phân suy rộng hội tụ nếu giới hạn định nghĩa nó là hữu hạn. Ngược lại nó phân kỳ, nghĩa là diện tích dưới đường cong hoặc vô hạn hoặc không xác định.

Tiêu chuẩn p áp dụng cho các tích phân có dạng ∫1/x^p trên [1, ∞) hoặc (0, 1]. Nó hữu ích nhất khi so sánh: nếu hàm dưới dấu tích phân của bạn hành xử tiệm cận như 1/x^p, bạn có thể xác định sự hội tụ nhanh chóng.

Một tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối nếu ∫|f| hội tụ. Nó hội tụ có điều kiện nếu ∫f hội tụ nhưng ∫|f| phân kỳ. Hội tụ tuyệt đối mạnh hơn hẳn.

Có — diện tích có thể vô hạn. ∫_1^∞ 1/x dx là ví dụ điển hình: đường cong y = 1/x dương ở mọi nơi trên [1, ∞), nhưng diện tích bên dưới là vô hạn (phân kỳ).

Related Solvers

Máy tính tích phânMáy tính giới hạnMáy tính chuỗi
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving