AI Math
Mở ứng dụng
geometry

Vectơ

Vectơ là một đại lượng có cả độ lớn lẫn hướng. Ký hiệu: ⟨x, y⟩ hoặc ⟨x, y, z⟩. Vectơ cộng theo từng thành phần và là nền tảng của vật lý, đồ họa và học máy.

Một vectơ có cả độ lớn lẫn hướng, khác với đại lượng vô hướng chỉ có độ lớn.

Tọa độ: v⃗=⟨x,y⟩\vec{v} = \langle x, y \rangle (2D) hoặc ⟨x,y,z⟩\langle x, y, z \rangle (3D). Độ lớn ∣v⃗∣=x2+y2+⋯|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}.

Các phép toán:

  • Cộng / trừ: theo từng thành phần.
  • Nhân vô hướng: co giãn độ lớn.
  • Tích vô hướng: u⃗⋅v⃗=∑uivi=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta — đo mức độ cùng hướng, cho ra một đại lượng vô hướng.
  • Tích có hướng (chỉ trong 3D): u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} — vuông góc với cả hai, độ lớn ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta.

Vectơ mô tả vật lý (lực, vận tốc), đồ họa (vị trí, pháp tuyến), học máy (vectơ đặc trưng, gradient, embedding) và hình học. Việc tổng quát hóa lên các chiều cao hơn và các không gian trừu tượng (không gian Hilbert) là nền tảng của phần lớn toán học hiện đại.