Chuỗi Taylor

Chuỗi Taylor của hàm số $f$ tại điểm $a$ là

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

Khi $a = 0$, chuỗi được gọi là chuỗi Maclaurin.

Các khai triển nổi tiếng:

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ (với $|x| < 1$).

Cắt ngắn chuỗi ở bậc $n$ cho ta một xấp xỉ đa thức. Đây là cách các máy tính tính toán lượng giác và hàm mũ nội bộ và cách vật lý xấp xỉ hành vi "góc nhỏ" hay "vận tốc thấp". Chuỗi Taylor tồn tại bất cứ nơi nào hàm số là khả vi vô hạn lần và số dư hội tụ về không.