Chuỗi (tổng vô hạn)

Một chuỗi là tổng các số hạng của một dãy số. Chuỗi hữu hạn $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ chỉ là phép cộng thông thường. Chuỗi vô hạn $\sum_{i=1}^\infty a_i$ là giới hạn của các tổng riêng $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ khi $n \to \infty$.

Nếu $\lim_{n\to\infty} S_n$ tồn tại và hữu hạn, chuỗi hội tụ; ngược lại nó phân kỳ. Các ví dụ nổi tiếng:

• Chuỗi hình học $\sum r^n$ hội tụ về $\frac{1}{1-r}$ khi $|r| < 1$.
• Chuỗi điều hòa $\sum \frac{1}{n}$ phân kỳ (một cách chậm chạp).
• Bài toán Basel: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

Tính hội tụ được quyết định bằng các tiêu chuẩn: tiêu chuẩn tỉ số, tiêu chuẩn căn, tiêu chuẩn tích phân, tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn chuỗi đan dấu. Chuỗi Taylor xấp xỉ các hàm số bằng đa thức có bậc cao tùy ý — nền tảng của giải tích số và các phép xấp xỉ trong vật lý.