Tổng Riemann

Một tổng Riemann xấp xỉ diện tích dưới đường cong $y = f(x)$ trên $[a, b]$ bằng cách chia khoảng thành $n$ khoảng con có độ rộng $\Delta x = (b-a)/n$ và cộng diện tích của $n$ hình chữ nhật:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

trong đó $x_i^*$ là một điểm mẫu trong khoảng con thứ $i$. Các lựa chọn phổ biến:

• Tổng Riemann trái: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$.
• Tổng Riemann phải: $x_i^* = a + i \Delta x$.
• Quy tắc điểm giữa: điểm giữa của khoảng con (chính xác hơn).

Khi $n \to \infty$ (các hình chữ nhật trở nên mỏng tùy ý), nếu $f$ khả tích, tổng Riemann hội tụ về tích phân xác định:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

Định nghĩa này của tích phân gắn kết phép cộng rời rạc với diện tích liên tục, tạo động lực cho ký hiệu tích phân $\int$ như một chữ "S kéo dài" của tổng (sum). Tổng Riemann cũng là nền tảng của mọi phép tích phân số (quy tắc hình thang, quy tắc Simpson).