Tối ưu hóa (giải tích)

Tối ưu hóa là quá trình tìm các giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số. Quy trình chuẩn:

1. Thiết lập hàm số $f(x)$ cần cực đại hóa/cực tiểu hóa từ đề bài.
2. Lấy đạo hàm để được $f'(x)$.
3. Tìm các điểm tới hạn: giải $f'(x) = 0$ (và xác định nơi $f'$ không tồn tại).
4. Phân loại từng điểm: kiểm tra đạo hàm cấp hai ($f''(c) > 0$ → cực tiểu; $< 0$ → cực đại), hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một.
5. So sánh với các đầu mút nếu xét trên một khoảng đóng (Định lý giá trị cực trị).

Các bài toán kinh điển: hình chữ nhật lớn nhất nội tiếp trong một đường tròn, lon hình trụ rẻ nhất chứa một thể tích cố định, chiếc hộp có thể tích lớn nhất tạo từ một tấm vuông.

Tối ưu hóa nhiều biến sử dụng gradient ($\nabla f = \vec{0}$) và ma trận Hessian. Tối ưu hóa có ràng buộc sử dụng nhân tử Lagrange. Kỹ thuật này là nền tảng của thiết kế kỹ thuật, kinh tế học và việc huấn luyện mô hình học máy.