Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn (hay Gaussian) là phân phối xác suất liên tục hình chuông mang tính biểu tượng. Hàm mật độ của nó:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

được xác định hoàn toàn bởi hai tham số: trung bình $\mu$ (vị trí) và độ lệch chuẩn $\sigma$ (độ trải).

Các tính chất quan trọng:

• Đối xứng quanh $\mu$.
• Quy tắc 68-95-99.7: $\approx 68\%$ giá trị nằm trong $1\sigma$, $95\%$ trong $2\sigma$, $99.7\%$ trong $3\sigma$.
• Phân phối chuẩn tắc $N(0, 1)$ là tham chiếu chuẩn; bất kỳ phân phối chuẩn nào cũng có thể chuẩn hóa qua $z = (x - \mu)/\sigma$.

Phân phối chuẩn xuất hiện ở khắp nơi nhờ Định lý Giới hạn Trung tâm: tổng của nhiều biến ngẫu nhiên độc lập có xu hướng tiến về chuẩn bất kể phân phối riêng của chúng. Điều này làm nó trở thành mô hình mặc định cho sai số đo lường, IQ, chiều cao, điểm thi, và là nền tảng của khoảng tin cậy, kiểm định giả thuyết và quá trình Gaussian.