Định lý giá trị trung bình

Định lý giá trị trung bình (MVT) là một kết quả nền tảng trong giải tích. Nếu $f$ liên tục trên $[a, b]$ và khả vi trên $(a, b)$, thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a, b)$ sao cho

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Về mặt hình học: tiếp tuyến tại $c$ song song với cát tuyến đi qua $(a, f(a))$ và $(b, f(b))$.

Trực giác (ví dụ về lái xe): nếu bạn đi được 60 dặm trong 1 giờ, tốc độ trung bình của bạn là 60 mph; MVT bảo đảm rằng tại một thời điểm nào đó tốc độ tức thời của bạn đúng bằng 60 mph.

MVT là động cơ đứng sau:

• Phép thử tăng/giảm ($f' > 0 \implies$ tăng).
• Chứng minh định lý cơ bản của giải tích.
• Cận sai số trong các phương pháp số (định lý Taylor có phần dư).
• Các định lý duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân.

Một trường hợp đặc biệt ($f(a) = f(b)$) là định lý Rolle: tồn tại một $c$ với $f'(c) = 0$.