Tích phân suy rộng

Một tích phân suy rộng có ít nhất một trong các đặc điểm:

1. Cận vô hạn: $\int_a^\infty f(x) \, dx$ hoặc $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$.
2. Hàm dưới dấu tích phân không bị chặn ở đâu đó trong $[a, b]$ (tiệm cận đứng).

Cả hai đều được tính như giới hạn của các tích phân thường:

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

Nếu giới hạn hữu hạn thì tích phân hội tụ; ngược lại thì phân kỳ.

Các ví dụ nổi tiếng:

• $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
• $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗ (suy giảm chậm hơn thì phân kỳ)
• $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — tích phân Gauss.

Các tiêu chuẩn hội tụ (so sánh, tiêu chuẩn p) giúp quyết định có đáng để tính tích phân hay không. Tích phân suy rộng xuất hiện trong xác suất (chuẩn hóa hàm mật độ xác suất), biến đổi Fourier và vật lý.