Vi phân ẩn

Vi phân ẩn tìm $\frac{dy}{dx}$ khi $y$ được xác định một cách ẩn bởi một phương trình, mà không cần giải tường minh $y$ trước. Nó đặc biệt hữu ích khi việc giải $y$ khó hoặc không thể thực hiện.

Quy trình: lấy vi phân cả hai vế của phương trình theo $x$, coi $y$ là một hàm của $x$ (do đó mỗi số hạng chứa $y$ sẽ kèm theo một $\frac{dy}{dx}$ qua quy tắc dây chuyền), rồi giải tìm $\frac{dy}{dx}$.

Ví dụ: với $x^2 + y^2 = 25$ (một đường tròn):

1. Lấy vi phân cả hai vế: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
2. Giải: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.

Điều này cho ta hệ số góc tại bất kỳ điểm nào trên đường tròn mà không cần đến $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$.

Vi phân ẩn là công cụ chuẩn cho:

• Tiếp tuyến với các đường cong không phải là đồ thị của hàm số.
• Bài toán tốc độ liên quan (nước đổ đầy một hình nón, thang trượt xuống dọc theo tường).
• Vi phân hàm ngược (việc suy ra $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ sử dụng nó).
• Giải phương trình vi phân và các đường cong có tính chất không đổi (đường mức).