Tập xác định và tập giá trị

Tập xác định của hàm số $f$ là tập hợp tất cả các giá trị đầu vào $x$ mà tại đó $f(x)$ được xác định. Tập giá trị là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà $f$ thực sự tạo ra.

Các ràng buộc phổ biến của tập xác định:

• Phép chia: $f(x) = 1/x$ loại trừ $x = 0$.
• Căn bậc chẵn: $f(x) = \sqrt{x}$ yêu cầu $x \geq 0$ trong tập số thực.
• Logarithm: $\ln(x)$ yêu cầu $x > 0$.

Tìm tập giá trị thường khó hơn tập xác định — cần phân tích hành vi của hàm số. Với đa thức, giải tích (đạo hàm, phân tích tiệm cận) giúp xác định tập giá trị; với hàm lượng giác, ta tận dụng tính tuần hoàn và biên độ bị chặn (ví dụ $\sin x$ có tập giá trị $[-1, 1]$).

Trong lập trình, "tập xác định" / "tập giá trị" trở thành chữ ký kiểu; trong học máy, chúng mô tả không gian đầu vào và không gian đầu ra của một mô hình.