Sự hội tụ

Sự hội tụ mô tả trường hợp một dãy hoặc chuỗi tiến tới một giới hạn hữu hạn.

Dãy: $\{a_n\}$ hội tụ về $L$ nếu với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại $N$ sao cho $|a_n - L| < \varepsilon$ với mọi $n > N$.

Chuỗi: $\sum a_n$ hội tụ nếu các tổng riêng $S_n$ của nó hội tụ.

Các tiêu chuẩn thường dùng:

• Tiêu chuẩn số hạng thứ n: $a_n \not\to 0$ → phân kỳ.
• Chuỗi cấp số nhân: $\sum r^n$ hội tụ khi và chỉ khi $|r| < 1$.
• Tiêu chuẩn so sánh: chặn bởi một chuỗi đã biết.
• Tiêu chuẩn tỉ số (D'Alembert): $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → hội tụ.
• Tiêu chuẩn tích phân: liên hệ $\sum a_n$ với $\int_1^\infty f(x) dx$.
• Tiêu chuẩn chuỗi đan dấu (Leibniz): $\sum (-1)^n b_n$ hội tụ nếu $b_n \to 0$ một cách đơn điệu.

Hội tụ tuyệt đối ($\sum |a_n|$ hội tụ) mạnh hơn hội tụ có điều kiện. Chuỗi điều hòa $\sum 1/n$ phân kỳ; $\sum (-1)^n/n$ hội tụ (đan dấu).