Một hàm số $f$ liên tục tại $x = a$ nếu thỏa mãn ba điều kiện:

$f(a)$ được xác định,
$\lim_{x \to a} f(x)$ tồn tại, và
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Một cách trực quan: bạn có thể vẽ đồ thị đi qua điểm đó mà không nhấc bút lên. Các điểm gián đoạn thường gặp là khử được (một lỗ hổng), bước nhảy (giới hạn trái và phải khác nhau), và vô hạn (tiệm cận đứng).

Tính liên tục là yêu cầu nhập môn của hầu hết các định lý giải tích. Định lý giá trị trung gian phát biểu rằng hàm liên tục nhận mọi giá trị nằm giữa hai giá trị đầu ra bất kỳ. Định lý giá trị cực trị bảo đảm rằng hàm liên tục trên một khoảng đóng đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Tính khả vi đòi hỏi tính liên tục, nhưng tính liên tục không kéo theo tính khả vi — $|x|$ liên tục ở mọi nơi nhưng không khả vi tại $0$ .

Tính liên tục

Một hàm số liên tục tại một điểm nếu giá trị của nó tại đó bằng giới hạn của các giá trị khi đối số tiến đến điểm đó — không có bước nhảy, lỗ hổng hay tiệm cận.