Số hữu tỉ vs vô tỉ

Hữu tỉ và vô tỉ là hai nửa của các số thực — mỗi số thực thuộc đúng một trong hai loại.

Số hữu tỉ

Một số thực là hữu tỉ nếu nó biểu diễn được dưới dạng $\frac{p}{q}$ với $p, q$ là số nguyên và $q \neq 0$.

Đặc trưng thập phân: số hữu tỉ có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn ($0.25 = \frac{1}{4}$) hoặc cuối cùng tuần hoàn ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

Tập số hữu tỉ ký hiệu là $\mathbb{Q}$. Dù trù mật (giữa hai số hữu tỉ bất kỳ luôn có một số hữu tỉ khác), các số hữu tỉ là đếm được — cùng lực lượng với $\mathbb{N}$.

Số vô tỉ

Không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của các số nguyên. Biểu diễn thập phân vô hạn và không tuần hoàn.

Số vô tỉ nổi tiếng:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (tỉ lệ vàng) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

Tập số vô tỉ là không đếm được — lớn hơn hẳn tập số hữu tỉ, dù số hữu tỉ trù mật.

Vì sao điều này quan trọng

• Việc $\sqrt{2}$ vô tỉ là một khám phá Pythagore nổi tiếng (truyền thuyết: Hippasus bị dìm chết vì tiết lộ điều đó).
• Việc $\pi$ vô tỉ nghĩa là bạn không bao giờ viết được nó dưới dạng phân số.
• Biểu diễn thập phân của $1/7 = 0.\overline{142857}$ — chu kỳ lặp dài nhất là $q - 1$.

Cách kiểm tra

Nếu bạn có một số, hãy hỏi:

• Thập phân hữu hạn → hữu tỉ.
• Thập phân lặp với chu kỳ rõ ràng → hữu tỉ.
• Thập phân kéo dài không lặp (ví dụ $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → vô tỉ.

Kiểm tra đại số dùng tính đóng: số hữu tỉ đóng với $+, -, \times, /$ (trừ 0). Tổng của hai số vô tỉ có thể là hữu tỉ (ví dụ $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).