Phân tích thành phân thức tối giản: Quy trình đầy đủ

Phân tích thành phân thức tối giản là kỹ năng đại số cho phép bạn tích phân bất kỳ hàm hữu tỉ nào trên đời. Thay vì vật lộn với một phân thức xấu xí, bạn tách nó thành những mảnh dễ tích phân theo từng số hạng. Hướng dẫn này đi qua mọi trường hợp bạn sẽ gặp.

Thiết lập

Một hàm hữu tỉ là $\frac{P(x)}{Q(x)}$ trong đó $P, Q$ là các đa thức. Phân thức tối giản chỉ hoạt động khi bậc của $P$ < bậc của $Q$. Nếu không, hãy chia đa thức trước để tách phần đa thức ra.

Sau khi chia, phân tích $Q(x)$ hoàn toàn trên trường số thực. Mỗi nhân tử rơi vào một trong bốn loại.

Bốn trường hợp

Trường hợp 1: các nhân tử tuyến tính phân biệt

Nếu $Q(x) = (x - a)(x - b)$, viết:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

Ví dụ. Phân tích $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Nhân hai vế lên: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

Thế $x = 1$: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
Thế $x = -2$: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

Vậy $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$.

Trường hợp 2: nhân tử tuyến tính lặp

Với $(x - a)^k$, bạn cần một số hạng cho mỗi lũy thừa lên đến $k$:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

Trường hợp 3: nhân tử bậc hai bất khả quy

Với mỗi $x^2 + bx + c$ bất khả quy, dùng một tử số với hai ẩn:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

Trường hợp 4: bậc hai bất khả quy lặp

Cùng ý tưởng như trường hợp 2, nhưng mỗi lũy thừa nhận một dạng $Bx + C$.

Ứng dụng tích phân

Sau khi phân tích, tích phân theo từng số hạng:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ với $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ tách thành một phần $\ln$ và một phần $\arctan$.

Những lỗi thường gặp

• Quên chia đa thức trước khi bậc của $P$ ≥ bậc của $Q$.
• Bỏ qua các số hạng lặp — $(x - 1)^3$ cần ba phân thức riêng biệt.
• Cố phân tích các bậc hai bất khả quy — kiểm tra biệt thức trước khi ép nghiệm thực.

Thử với AI Integral Solver

Máy giải tích phân tự động thực hiện phân tích thành phân thức tối giản khi cần và hiển thị mọi bước.

Tài liệu tham khảo liên quan:

• Máy tính phân tích nhân tử — để tách $Q(x)$ ra
• Máy tính đa thức — để thiết lập phép chia đa thức
• Máy tính giới hạn — dùng trong một số mẹo kiểm chứng PFD