مطلق قدر کیلکولیٹر

ایک حقیقی عدد $x$ کی مطلق قدر، جسے $|x|$ لکھا جاتا ہے، عددی خط پر $0$ سے اس کا فاصلہ ہے:

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

اہم خصوصیات:

• ہر $x$ کے لیے $|x| \geq 0$، اور برابری صرف اس وقت جب $x = 0$۔
• $|xy| = |x||y|$ (ضربی)۔
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (مثلثی عدم مساوات)۔
• $|x|^2 = x^2$، لہٰذا $|x| = \sqrt{x^2}$۔

ہندسی تشریح: $|a - b|$ عددی خط پر اعداد $a$ اور $b$ کے درمیان فاصلہ ہے۔ اسی وجہ سے مطلق قدر کی عدم مساوات صفائی سے فاصلے کے بیانات میں بدل جاتی ہیں۔

مطلق قدر مرکب اعداد ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) اور سمتیوں (اقلیدسی معیار) تک پھیلتی ہے، لیکن یہاں ہم زیادہ تر ہوم ورک میں استعمال ہونے والی حقیقی قدر والی صورت پر توجہ دیتے ہیں۔

قسم 1: مطلق قدر مساوات

$|f(x)| = c$ جہاں $c$ ایک ثابت ہے۔

• اگر $c < 0$: کوئی حل نہیں (مطلق قدر کبھی منفی نہیں ہو سکتی)۔
• اگر $c = 0$: $f(x) = 0$ حل کریں۔
• اگر $c > 0$: دو صورتوں میں تقسیم کریں: $f(x) = c$ یا $f(x) = -c$۔ ہر ایک حل کریں، تمام درست حل رکھیں۔

مثال: $|2x - 3| = 7$ تقسیم ہوتا ہے $2x - 3 = 7$ یا $2x - 3 = -7$ میں، جس سے $x = 5$ یا $x = -2$۔

قسم 2: کم از کم عدم مساوات

$|f(x)| < c$ (یا $\leq$) جہاں $c > 0$۔

مساوی ہے: $-c < f(x) < c$ (ایک مرکب عدم مساوات، AND)۔

ہندسی معنی: $f(x)$ کا $0$ سے فاصلہ $c$ کے اندر ہے۔

مثال: $|2x + 1| < 7$ بنتا ہے $-7 < 2x + 1 < 7$، جس سے $-4 < x < 3$۔

اگر $c \leq 0$، تو کوئی حل نہیں (یا صرف $f(x) = 0$ اگر $c = 0$)۔

قسم 3: زیادہ از عدم مساوات

$|f(x)| > c$ (یا $\geq$) جہاں $c \geq 0$۔

مساوی ہے: $f(x) < -c$ یا $f(x) > c$ (ایک انفصال، OR)۔

مثال: $|3x - 6| \geq 9$ بنتا ہے $3x - 6 \leq -9$ یا $3x - 6 \geq 9$، جس سے $x \leq -1$ یا $x \geq 5$۔

اگر $c < 0$، تو ہر حقیقی عدد عدم مساوات کو پورا کرتا ہے۔

مشکل: دونوں طرف مطلق قدر

$|f(x)| = |g(x)|$ تقسیم ہوتا ہے $f(x) = g(x)$ یا $f(x) = -g(x)$ میں۔

حل کی تصدیق

ہمیشہ اصل مساوات میں واپس رکھیں۔ کچھ سیاق و سباق میں مربع کرنا یا تقسیم کرنا اضافی حل متعارف کرا سکتا ہے۔

• منفی صورت کو چھوڑنا: $|x| = 5$ کے دو حل ہیں، $x = 5$ اور $x = -5$۔ ابتدائی اکثر صرف مثبت لکھتے ہیں۔
• AND بمقابلہ OR کا الٹا استعمال: $|x| < c$ AND استعمال کرتا ہے ($-c$ اور $c$ کے درمیان)؛ $|x| > c$ OR استعمال کرتا ہے ($-c$ سے کم یا $c$ سے زیادہ)۔ ان کو بدلنے سے غلط جواب آتا ہے۔
• یہ بھولنا کہ $c$ غیر منفی ہونا چاہیے: $|f(x)| = -3$ کا کوئی حل نہیں کیونکہ ہمیشہ $|f(x)| \geq 0$۔
• منفی صورت میں علامت کی الجھن: $|2x - 3| = 7$ سے $2x - 3 = -7$ ملتا ہے، نہ کہ $-(2x) - 3 = 7$۔ $-c$ کے برابر پورے اظہار کو منفی کریں۔
• اضافی حل چھوٹ جانا: حل کرنے کے بعد، ہمیشہ اصل مساوات میں واپس رکھیں۔ اگر مطلق قدر کا ڈھانچہ $f(x)$ کے غیر منفی ہونے پر منحصر تھا، تو اسے جانچیں۔