راست بمقابلہ معکوس تغیر

راست تغیر اور معکوس تغیر متغیرات کے درمیان دو سادہ ترین غیر معمولی تعلقات ہیں — اور زیادہ پیچیدہ ماڈلز سمجھنے کی بنیاد۔

راست تغیر: y = kx

دو مقداریں راست تغیر رکھتی ہیں اگر کسی غیر صفر مستقل $k$ کے لیے $y = k x$ ہو ($k$ کو تغیر کا مستقل یا تناسب کا مستقل کہتے ہیں)۔

• جب $x$ دگنا ہوتا ہے، $y$ دگنا ہوتا ہے۔
• جب $x$ نصف ہوتا ہے، $y$ نصف ہوتا ہے۔
• گراف نقطۂ مبدأ سے ڈھلوان $k$ کے ساتھ گزرتا ہے۔

مثالیں: مستقل رفتار پر فاصلہ بمقابلہ وقت ($d = v t$)، ہُک کا قانون ($F = k x$)، سادہ تنخواہ ($\text{تنخواہ} = \text{شرح} \cdot \text{گھنٹے}$)۔

معکوس تغیر: y = k/x

دو مقداریں معکوس تغیر رکھتی ہیں اگر $y = k/x$ ہو۔

• جب $x$ دگنا ہوتا ہے، $y$ نصف ہوتا ہے۔
• جب $x \to \infty$، تو $y \to 0$۔
• گراف ایک قطع زائد ہے، جو محوروں کو کبھی نہیں کاٹتا۔

مثالیں: بوائل کا قانون (مستقل درجۂ حرارت پر دباؤ × حجم = مستقل)، مقررہ کام کے لیے وقت ($t = \text{فاصلہ} / v$)، اوہم کے قانون کی صورتیں۔

اعداد و شمار سے کیسے پہچانیں

$y$ کو $x$ کے مقابلے میں ترسیم کریں۔ اگر نقطے نقطۂ مبدأ سے گزرنے والی سیدھی لکیر پر ہوں تو راست تغیر۔ اگر وہ صفر کی طرف گھٹتے قطع زائد پر ہوں تو معکوس تغیر۔ یا جانچیں کہ $\frac{y}{x}$ مستقل ہے (راست) یا $xy$ مستقل ہے (معکوس)۔

مرکب اور مشترکہ تغیر

• مشترکہ تغیر: $y = kxz$ (دو راست متغیر)۔
• مرکب: $y = kx/z$ (ایک راست، ایک معکوس)۔ مثال: ثقلی قوت $F = G m_1 m_2 / r^2$ — کتلوں میں راست، فاصلے کے مربع میں معکوس۔

فیصلہ

اس سوال سے پہچانیں "جب ایک بڑھتا ہے تو دوسرا بڑھتا ہے یا گھٹتا ہے، اور کس تناسب میں؟" راست → دونوں ساتھ چلتے ہیں؛ معکوس → معکوس تناسب کے ساتھ مخالف سمت۔