جزوی کسر تجزیہ: مکمل کام کا بہاؤ

جزوی کسر تجزیہ وہ الجبرائی مہارت ہے جو آپ کو دنیا کے کسی بھی ترکیبی فنکشن کا انٹیگریشن کرنے دیتی ہے۔ ایک بدصورت کسر سے لڑنے کی بجائے، آپ اسے ایسے ٹکڑوں میں توڑتے ہیں جنہیں رکن بہ رکن آسانی سے انٹیگریٹ کیا جا سکتا ہے۔ یہ گائیڈ ہر اس صورت سے گزرتی ہے جس سے آپ کو واسطہ پڑے گا۔

ترتیب

ایک ترکیبی فنکشن $\frac{P(x)}{Q(x)}$ ہے جہاں $P, Q$ کثیر الحدود ہیں۔ جزوی کسر صرف اس وقت کام کرتا ہے جب $P$ کی درجہ < $Q$ کی درجہ ہو۔ اگر نہیں، تو پہلے کثیر الحدود لمبی تقسیم کریں تاکہ کثیر الحدود حصہ الگ ہو جائے۔

تقسیم کے بعد، $Q(x)$ کو حقیقی اعداد پر مکمل طور پر عوامل میں تحلیل کریں۔ ہر عامل چار میں سے کسی ایک زمرے میں آتا ہے۔

چار صورتیں

صورت 1: مختلف خطی عوامل

اگر $Q(x) = (x - a)(x - b)$ ہو، تو لکھیں:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

مثال۔ $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$ تجزیہ کریں۔

ضرب کریں: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$۔

$x = 1$ رکھیں: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$۔
$x = -2$ رکھیں: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$۔

تو $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$۔

صورت 2: دہرایا گیا خطی عامل

$(x - a)^k$ کے لیے، $k$ تک ہر قوت کے لیے ایک رکن چاہیے:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

صورت 3: ناقابلِ تجزیہ دو درجی عامل

ہر ناقابلِ تجزیہ $x^2 + bx + c$ کے لیے، دو نامعلوم کے ساتھ شمار کار استعمال کریں:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

صورت 4: دہرایا گیا ناقابلِ تجزیہ دو درجی عامل

صورت 2 جیسا ہی خیال، لیکن ہر قوت کو $Bx + C$ کی شکل ملتی ہے۔

انٹیگریشن کا اطلاق

تجزیے کے بعد، رکن بہ رکن انٹیگریٹ کریں:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ جب $k > 1$ ہو
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ ایک $\ln$ حصے اور ایک $\arctan$ حصے میں تقسیم ہوتا ہے۔

عام غلطیاں

• جب $P$ کی درجہ ≥ $Q$ کی درجہ ہو تو پہلے لمبی تقسیم نہ کرنا۔
• دہرائی رکنیں چھوڑنا — $(x - 1)^3$ کے لیے تین الگ کسر چاہئیں۔
• ناقابلِ تجزیہ دو درجیوں کو عوامل میں توڑنے کی کوشش کرنا — حقیقی جڑیں ڈھکیلنے سے پہلے امتیازی مساوات جانچیں۔

AI انٹیگرل سولور کے ساتھ آزمائیں

انٹیگرل سولور ضرورت پڑنے پر خود بخود جزوی کسر تجزیہ کرتا ہے اور ہر قدم دکھاتا ہے۔

متعلقہ حوالہ جات:

• عامل کیلکولیٹر — $Q(x)$ کو توڑنے کے لیے
• کثیر الحدود کیلکولیٹر — لمبی تقسیم کی ترتیب کے لیے
• حد کیلکولیٹر — بعض PFD تصدیقی چالوں میں استعمال ہوتا ہے