ให้ (X, Y) มีฟังก์ชันความหนาแน่นร่วม f(x,y) = A(2 − x − y) เมื่อ 0 ≤ x ≤ 1 และ 0 ≤ y ≤ x และเป็น 0 ในกรณีอื่น (1) จงหา A (2) จงหา P(2X − Y < 1) (3) จงหา F(1/2, 1/4) และ F(1/2, −1)

Step-by-step solution

1. 1

   (1) ใช้เงื่อนไขการทำให้เป็นบรรทัดฐานบนบริเวณที่ถูกต้อง บริเวณรองรับคือรูปสามเหลี่ยม $0\le y\le x\le 1$ จึงอินทิเกรต $y$ จาก $0$ ถึง $x$ แล้วอินทิเกรต $x$ จาก $0$ ถึง $1$

   $\int_{0}^{x}(2-x-y)\,dy=\left[(2-x)y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x}=2x-x^{2}-\frac{x^{2}}{2}=2x-\frac32x^{2}$

2. 2

   ทำการทำให้เป็นบรรทัดฐานให้จบ

   $A\int_{0}^{1}\left(2x-\tfrac32x^{2}\right)dx=A\left[x^{2}-\tfrac12x^{3}\right]_{0}^{1}=A\left(1-\tfrac12\right)=\frac{A}{2}=1$

   $\boxed{A=2}$

3. 3

   (2) แบ่งบริเวณที่เหตุการณ์เป็นจริง เหตุการณ์ $2X-Y<1$ หมายถึง $y>2x-1$ เมื่อ $x\le\tfrac12$ ขอบ $2x-1$ จะ $\le 0$ แถบทั้งแถบ $0\le y\le x$ จึงเข้าเงื่อนไข แต่เมื่อ $x>\tfrac12$ มีเพียง $2x-1<y\le x$ เท่านั้นที่เข้า ดังนั้น

   $P=\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx$

   การแบ่งที่ $x=\tfrac12$ คือความยากทั้งหมดของข้อนี้

4. 4

   หาค่าทั้งสองก้อน เมื่อ $f=2(2-x-y)$

   $\int_{0}^{1/2}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx=\frac38,\qquad \int_{1/2}^{1}\!\!\int_{2x-1}^{x}f\,dy\,dx=\frac{5}{24}$

   $P\{2X-Y<1\}=\frac38+\frac{5}{24}=\frac{9+5}{24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.583$

5. 5

   (3) คำนวณ F(1/2, 1/4) ตามนิยาม $F(u,v)=P\{X\le u,\ Y\le v\}$ จึงอินทิเกรตความหนาแน่นบนส่วนของรูปสามเหลี่ยมที่ $x\le\tfrac12$ และ $y\le\tfrac14$ บริเวณนี้ต้องแบ่งอีกครั้งที่ $x=\tfrac14$

   $F=\int_{0}^{1/4}\!\!\int_{0}^{x}f\,dy\,dx+\int_{1/4}^{1/2}\!\!\int_{0}^{1/4}f\,dy\,dx=\frac{7}{64}+\frac{3}{16}=\frac{7+12}{64}=\frac{19}{64}$

6. 6

   คำนวณ F(1/2, −1) โดยไม่ต้องอินทิเกรตเลย บริเวณรองรับกำหนดให้ $y\ge 0$ เหตุการณ์ $\{Y\le -1\}$ จึงเป็นไปไม่ได้

   $F\left(\tfrac12,-1\right)=0$

   $\boxed{A=2,\quad P\{2X-Y<1\}=\tfrac{7}{12},\quad F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=\tfrac{19}{64},\quad F\left(\tfrac12,-1\right)=0}$

7. 7

   ตรวจความสมเหตุสมผลของตัวเลขทั้งสาม ทุกค่าอยู่ใน $[0,1]$ ✓ เนื่องจาก $F(u,v)$ ไม่ลดลงตามอาร์กิวเมนต์แต่ละตัว ค่า $F\left(\tfrac12,\tfrac14\right)=0.297$ จึงต้องไม่เกิน $P\{X\le\tfrac12\}$ ซึ่งเมื่ออินทิเกรตแล้วได้ $P\{X\le\tfrac12\}=\tfrac38=0.375$ ✓ และ $P\{2X-Y<1\}=0.583$ มากกว่า $0.375$ ตามที่ควรเป็น เพราะเหตุการณ์นั้นบรรจุ $\{X\le\tfrac12\}$ ไว้ทั้งหมด