ผู้บริโภคร้อยละห้าสิบชอบซื้อเครื่องใช้ไฟฟ้าออนไลน์ สุ่มเลือกผู้บริโภคมา 8 คน จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนคนที่ชอบซื้อออนไลน์เป็น (ก) ห้าคนพอดี (ข) มากกว่าห้าคน และ (ค) ไม่เกินห้าคน

Step-by-step solution

1. 1

   ระบุการแจกแจง ผู้บริโภคแปดคนที่เป็นอิสระต่อกัน แต่ละคนชอบซื้อออนไลน์หรือไม่ก็ไม่ชอบ ด้วยความน่าจะเป็นคงที่ $p = 0.5$ นี่คือการแจกแจงทวินามที่ $n = 8$, $p = 0.5$ ความน่าจะเป็นที่สำเร็จ $k$ ครั้งพอดีคือ

   $P(k) = \binom{8}{k}(0.5)^k(0.5)^{8-k} = \binom{8}{k}\frac{1}{256}$

   เนื่องจาก $p = 0.5$ เลขชี้กำลังจึงยุบเหลือค่าคงตัวเดียวคือ $\tfrac{1}{2^8} = \tfrac{1}{256}$ โจทย์ทั้งข้อจึงลดรูปเหลือเพียงการนับ

2. 2

   (ก) ห้าคนพอดี $\binom{8}{5} = \dfrac{8!}{5!\,3!} = 56$ ดังนั้น

   $P(5) = \frac{56}{256} = 0.21875 \approx 0.219$

3. 3

   (ข) มากกว่าห้าคน "มากกว่าห้า" หมายถึง $6$, $7$ หรือ $8$ จึงต้องบวกสามพจน์ โดย $\binom{8}{6} = 28$, $\binom{8}{7} = 8$, $\binom{8}{8} = 1$

   $P(X > 5) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} = 0.144531 \approx 0.145$

   สังเกตว่า $X > 5$ ไม่รวม $5$ การเผลอรวมเข้าไปจะเพิ่มอีก $0.219$

4. 4

   (ค) ไม่เกินห้าคน ผ่านส่วนเติมเต็ม "ไม่เกินห้า" หมายถึง $X \le 5$ ซึ่งคือทุกอย่างยกเว้น $X > 5$

   $P(X \le 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - \frac{37}{256} = \frac{219}{256} = 0.855469 \approx 0.855$

   วิธีนี้เร็วกว่าการบวกหกพจน์ $k = 0,\ldots,5$ มาก

5. 5

   ตรวจว่าชิ้นส่วนต่าง ๆ สอดคล้องกัน เมื่อบวกผลลัพธ์ทั้ง $2^8$ แบบ: $\binom{8}{0}+\cdots+\binom{8}{8} = 256$ ความน่าจะเป็นจึงรวมกันได้ $1$ พอดี ✓ อีกทั้ง $P(X \le 5) + P(X > 5) = \tfrac{219}{256} + \tfrac{37}{256} = 1$ ✓ และ $\tfrac{219}{256}$ ก็ยืนยันได้ด้วยการบวกตรง ๆ $1+8+28+56+70+56 = 219$

6. 6

   ตรวจทานรูปร่างของการแจกแจง เมื่อ $p = 0.5$ การแจกแจงสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย $np = 4$ ดังนั้น $P(5)$ ควรเท่ากับ $P(3)$ และก็เป็นเช่นนั้นจริง เพราะ $\binom{8}{3} = 56$ เท่ากัน ✓ อีกทั้งเนื่องจากมวลความน่าจะเป็นเกินครึ่งอยู่ที่ $4$ หรือต่ำกว่า ค่า $0.855$ สำหรับ $P(X \le 5)$ จึงมีขนาดที่ถูกต้องพอดี