ให้ a(n) เป็นปริพันธ์จาก x = 1/2 ถึง x = 2 ของ 2^x/(1 + x²)^n dx จงพิสูจน์ว่า a(n+1)/a(n) ลู่เข้าสู่ 4/5 เมื่อ n เข้าสู่อนันต์

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนอัตราส่วนใหม่ให้เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ให้ $g(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}$ จะได้ $a_n=\int_{1/2}^{2}2^{x}g(x)^{n}\,dx$ และ $a_{n+1}=\int_{1/2}^{2}g(x)\cdot 2^{x}g(x)^{n}\,dx$ ดังนั้น $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\int_{1/2}^{2}g(x)\,w_n(x)\,dx}{\int_{1/2}^{2}w_n(x)\,dx},\qquad w_n(x)=2^{x}g(x)^{n}>0,$ ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของ $g$ ถ่วงด้วยน้ำหนักบวก $w_n$ พอดี ค่าเฉลี่ยย่อมอยู่ระหว่างค่าต่ำสุดกับค่าสูงสุดของ $g$ เสมอ การพิสูจน์ทั้งหมดจึงอยู่ที่การแสดงว่าน้ำหนักกระจุกตัวตรงที่ $g$ มีค่ามากที่สุด

2. 2

   หาตำแหน่งค่าสูงสุดของฟังก์ชันฐาน บน $x>0$ ฟังก์ชัน $g(x)=1/(1+x^{2})$ ลดลงอย่างเข้ม ดังนั้นบน $\left[\frac12,2\right]$ มันมีค่าสูงสุดที่ปลายซ้าย $M=g\!\left(\tfrac12\right)=\frac{1}{1+\frac14}=\frac45 .$ ขั้นนี้ระบุแล้วว่า $4/5$ เป็นตัวเลือกเดียวที่เป็นไปได้สำหรับลิมิต

3. 3

   ได้ขอบบนมาฟรี ๆ เนื่องจาก $g(x)\le M$ ทุกจุดบนช่วง $a_{n+1}=\int_{1/2}^{2}g(x)\,w_n(x)\,dx\le M\int_{1/2}^{2}w_n(x)\,dx=M\,a_n,$ ดังนั้น $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac45$ สำหรับทุก $n$ และจึงได้ $\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\le\frac45$

4. 4

   แสดงว่ามวลกระจุกตัวที่ปลายซ้าย ตรึง $\varepsilon>0$ ไว้ จากความต่อเนื่อง เลือก $\delta>0$ ที่ทำให้ $g(x)>M-\varepsilon$ บน $\left[\frac12,\frac12+\delta\right)$ และ $q:=g\!\left(\frac12+\delta\right)<M-\varepsilon$ แยก $a_n=I_n+J_n$ ที่ $\frac12+\delta$ แล้วใช้ความเป็นฟังก์ชันทางเดียวของ $g$ $I_n\ge C_1 (M-\varepsilon)^{n},\qquad J_n\le C_2 q^{n},\qquad C_1=\int_{1/2}^{1/2+\delta}2^{x}dx,\ C_2=\int_{1/2+\delta}^{2}2^{x}dx .$ เนื่องจาก $q<M-\varepsilon$ ผลหาร $J_n/I_n\le \frac{C_2}{C_1}\left(\frac{q}{M-\varepsilon}\right)^{n}\to 0$ ส่วนหางจึงละเลยได้

5. 5

   สรุปด้วยขอบล่าง เนื่องจากน้ำหนักเกือบทั้งหมดอยู่บน $\left[\frac12,\frac12+\delta\right)$ ซึ่ง $g>M-\varepsilon$ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักจึงสอดคล้องกับ $\frac{a_{n+1}}{a_n}>M-2\varepsilon$ สำหรับ $n$ ที่ใหญ่พอทุกค่า ดังนั้น $\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge M-2\varepsilon$ และเนื่องจาก $\varepsilon>0$ เป็นค่าใดก็ได้ จึงได้ $\liminf\ge\frac45$ เมื่อรวมกับขอบบนแล้ว ลิมิตจึงเท่ากับ $\frac45$

6. 6

   ตรวจอัตราการลู่เข้าด้วยตัวเลข การลู่เข้าช้าจริง ๆ เพราะความกว้างของบริเวณที่กระจุกตัวหดลงเพียงราว $1/n$ การหาปริพันธ์เชิงตัวเลขให้ $a_{21}/a_{20}\approx 0.762$, $a_{41}/a_{40}\approx 0.781$ และ $a_{61}/a_{60}\approx 0.787$ ทั้งหมดต่ำกว่า $0.8$ และเพิ่มขึ้นเข้าหาค่านั้น ตรงตามที่ขอบทั้งสองข้างต้นทำนายไว้พอดี