จงหาช่วงการลู่เข้าของผลบวกตั้งแต่ n = 1 ถึงอนันต์ ของ (−1)^n (1/n − 1/(n+2)) x^n

Step-by-step solution

1. 1

   รวมสัมประสิทธิ์ให้เป็นเศษส่วนเดียว ใช้ตัวส่วนร่วม $n(n+2)$

   $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}$

   ตรวจแบบพอดีสำหรับ $n$ ทุกค่าถึง $59$ แล้ว ✓ รูปนี้ทำให้เห็นอัตราการลดลงชัดเจน ซึ่งรูปผลต่างเดิมบดบังไว้

2. 2

   ดูดเครื่องหมายเข้าไปในตัวแปร เนื่องจาก $(-1)^{n}x^{n}=(-x)^{n}$ อนุกรมจึงเป็น

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+2)}(-x)^{n}$

   ซึ่งเป็นอนุกรมกำลังในตัวแปร $-x$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นบวก วิเคราะห์ง่ายกว่า และช่วงในตัวแปร $x$ ก็จะออกมาสมมาตรอยู่ดี

3. 3

   หารัศมีด้วยการทดสอบอัตราส่วน เมื่อ $c_{n}=\dfrac{2}{n(n+2)}$

   $\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|=\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}\longrightarrow1$

   (เชิงตัวเลขได้ $0.8392$ ที่ $n=10$, $0.98049$ ที่ $n=100$, $0.998005$ ที่ $n=1000$ ✓) รัศมีการลู่เข้าจึงเป็น $R=1$ อนุกรมลู่เข้าเมื่อ $|x|<1$ และลู่ออกเมื่อ $|x|>1$ ส่วนจุดปลายต้องพิจารณาแยกต่างหาก

4. 4

   ตรวจที่ $x=1$ พจน์กลายเป็น $\dfrac{2(-1)^{n}}{n(n+2)}$ และเนื่องจาก

   $\frac{2}{n(n+2)}\sim\frac{2}{n^{2}}$

   การเปรียบเทียบกับอนุกรม $p$ ที่ลู่เข้าคือ $\sum n^{-2}$ ($p=2>1$) แสดงว่าอนุกรมนี้ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ✓

5. 5

   ตรวจที่ $x=-1$ ตอนนี้ $(-x)^{n}=1$ อนุกรมจึงเป็นผลบวกยุบรวมที่เป็นบวก

   $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=1+\frac12=\frac32$

   เพราะพจน์ภายในตัดกันหมดและ $\tfrac{1}{n+1}+\tfrac{1}{n+2}\to0$ ผลบวกย่อยถึง $n=19999$ ให้ $1.49990$ ✓ ยืนยันการลู่เข้าสู่ $\tfrac32$

6. 6

   ระบุช่วง จุดปลายทั้งสองลู่เข้า ดังนั้น

   $[-1,1]$

   คือช่วงการลู่เข้า เป็นช่วงปิด ซึ่งได้มาจากการที่สัมประสิทธิ์ลดลงแบบ $1/n^{2}$ ถ้าสัมประสิทธิ์ลดลงเพียงแบบ $1/n$ จะได้ช่วงครึ่งเปิดครึ่งปิดแทน