จงพิสูจน์ว่า f(x) ซึ่งเป็นผลบวกตั้งแต่ n = 2 ถึงอนันต์ของ sin(nx)/(n ln n) ต่อเนื่องที่ x = 0

Step-by-step solution

1. 1

   ลดรูปให้เป็นข้อความเรื่องลิมิต และสังเกตว่าทำไมเครื่องมือง่าย ๆ จึงใช้ไม่ได้ ทุกพจน์เป็นศูนย์ที่ $x=0$ ดังนั้น $f(0)=0$ และความต่อเนื่องหมายถึง $f(x)\to0$ เมื่อ $x\to0$ การทดสอบ $M$ ของไวเออร์ชตราสใช้ไม่ได้ตรงนี้ เพราะ $\sum 1/(n\ln n)$ ลู่ออก ส่วนการทดสอบของดีรีเคลให้การลู่เข้าเอกรูปเฉพาะบน $[\delta,2\pi-\delta]$ ซึ่งเป็นบริเวณที่อยู่ห่างจากจุดที่เราสนใจพอดี ผลบวกจึงต้องถูกแยกด้วยมือ และเนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ จึงพอแล้วที่จะพิจารณาเฉพาะ $0<x<\tfrac12$

2. 2

   เลือกจุดแยก ให้ $N=\lfloor 1/x\rfloor$ ดังนั้น $N\le 1/x<N+1$ และ $N\to\infty$ เมื่อ $x\to0^{+}$ เขียน

   $f(x)=\underbrace{\sum_{n=2}^{N}\frac{\sin nx}{n\ln n}}_{S_1}+\underbrace{\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n\ln n}}_{S_2}.$

   สำหรับ $n\le N$ มุม $nx\le 1$ มีค่าน้อย จึงครอบ $\sin nx$ อย่างหยาบ ๆ ได้ ส่วน $n>N$ ไซน์แกว่งไปมา จึงต้องอาศัยการหักล้างกันแทน สองย่าน สองวิธีประมาณ

3. 3

   ครอบส่วนหัว $S_1$ ด้วย $|\sin nx|\le nx$

   $|S_1|\le\sum_{n=2}^{N}\frac{nx}{n\ln n}=x\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{\ln n}.$

   แยกผลบวกนั้นที่ $\sqrt N$ — ต่ำกว่านั้นใช้ $1/\ln n\le 1/\ln 2$ สูงกว่านั้นใช้ $1/\ln n\le 2/\ln N$ — จะได้

   $x\sum_{n=2}^{N}\frac1{\ln n}\le \frac{x\sqrt N}{\ln 2}+\frac{2xN}{\ln N}\le\frac{1}{\sqrt N\,\ln 2}+\frac{2}{\ln N},$

   โดยใช้ $xN\le 1$ และ $x\sqrt N\le 1/\sqrt N$ ทั้งสองชิ้นเข้าสู่ $0$ ถ้าใช้เพียงขอบเขตแบบตรงไปตรงมา $1/\ln n\le1/\ln 2$ อย่างเดียวจะได้แค่ $O(1)$ นี่คือเหตุผลที่ต้องแยกที่ $\sqrt N$

4. 4

   ครอบส่วนหาง $S_2$ ด้วยการหาผลรวมแบบอาเบล การประมาณด้วยเคอร์เนลดีรีเคลให้ว่า สำหรับ $0<x\le\pi$ และ $q>p$ ใด ๆ

   $\left|\sum_{n=p}^{q}\sin nx\right|\le\frac{1}{\sin(x/2)}\le\frac{\pi}{x},$

   เพราะ $\sin(x/2)\ge x/\pi$ บน $(0,\pi]$ และเนื่องจาก $a_n=1/(n\ln n)$ ลดลงเข้าสู่ $0$ อสมการของอาเบลจึงให้

   $|S_2|\le a_{N+1}\cdot\frac{2\pi}{x}=\frac{2\pi}{x\,(N+1)\ln (N+1)}.$

5. 5

   ปิดการประมาณส่วนหาง เนื่องจาก $N+1>1/x$ จึงได้ $x(N+1)>1$ ดังนั้น

   $|S_2|\le\frac{2\pi}{\ln(N+1)}\xrightarrow[x\to0^{+}]{}0.$

6. 6

   รวมผล ทั้ง $S_1$ และ $S_2$ เข้าสู่ $0$ เมื่อ $x\to0^{+}$ ดังนั้น $f(x)\to0=f(0)$ และความเป็นฟังก์ชันคี่ให้ผลเดียวกันจากทางซ้าย $f$ จึงต่อเนื่องที่ $x=0$ $\blacksquare$ การประมาณชุดเดียวกันนี้ให้ผลมากกว่านั้นด้วย เพราะ $n\,a_n=1/\ln n\to0$ ทฤษฎีบทชอนดี–จอลลิฟฟ์จึงบอกว่าอนุกรมไซน์นี้ลู่เข้าเอกรูปบน $\mathbb{R}$ ทั้งหมด ดังนั้น $f$ ต่อเนื่องทุกจุด