จงวิเคราะห์ฟังก์ชัน f(x) = e^(−αx)·cos(x) หาค่าที่ 0 คาบของการแกว่ง เส้นโค้งขอบเขต และเครื่องหมายของ α เปลี่ยนพฤติกรรมอย่างไร

Step-by-step solution

1. 1

   แยกฟังก์ชันออกเป็นตัวประกอบแอมพลิจูดกับตัวประกอบที่แกว่ง เทียบกับการแกว่งแบบหน่วงทั่วไป $Ae^{-\alpha x}\cos(kx + \phi)$ ในที่นี้ $A = 1$, $k = 1$ และ $\phi = 0$ ตัวเลขชี้กำลังควบคุมว่าการแกว่งจะกว้างแค่ไหน ส่วนโคไซน์ควบคุมว่าจะแกว่งเร็วแค่ไหน ตัวประกอบทั้งสองไม่กระทบบทบาทของกันและกัน

2. 2

   หาค่าที่จุดกำเนิด

   $f(0) = e^{0}\cos(0) = 1 \times 1 = 1$

   เส้นโค้งจึงเริ่มต้นที่แอมพลิจูดสูงสุดเท่าที่เป็นไปได้ ไม่ว่า $\alpha$ จะเป็นเท่าใด

3. 3

   หาคาบของการแกว่ง แบบรูป ของศูนย์และจุดวกกลับซ้ำตัวเมื่อใดก็ตามที่ $\cos x$ ซ้ำ ดังนั้น

   $T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$

   อย่างเคร่งครัดแล้ว ตัวฟังก์ชันเองไม่เป็นฟังก์ชันคาบ เว้นแต่ $\alpha = 0$ เพราะแบบรูปซ้ำแต่ขนาดไม่ซ้ำ

4. 4

   หาเส้นโค้งขอบเขต เนื่องจาก $-1 \le \cos x \le 1$ และ $e^{-\alpha x} > 0$ การคูณตลอดทั้งอสมการจึงรักษาทิศไว้

   $-e^{-\alpha x} \le e^{-\alpha x}\cos x \le e^{-\alpha x}$

   กราฟจึงถูกขังอยู่ระหว่าง $y = e^{-\alpha x}$ กับ $y = -e^{-\alpha x}$ โดยแตะสลับกันที่ $x = n\pi$

5. 5

   แยกกรณีตามเครื่องหมายของ α ถ้า $\alpha > 0$ แล้ว $e^{-\alpha x} \to 0$ เมื่อ $x \to \infty$ การแกว่งจึงลดลงเข้าสู่ศูนย์ อันเป็นระบอบหน่วงน้อยกว่าวิกฤต ถ้า $\alpha = 0$ ฟังก์ชันเป็น $\cos x$ พอดี ไม่มีการหน่วงและเป็นฟังก์ชันคาบอย่างแท้จริง ถ้า $\alpha < 0$ เส้นขอบเขตจะขยายตัวและการแกว่งจะพุ่งขึ้นไม่มีที่สิ้นสุด

6. 6

   ตรวจจุดที่สัมผัสเส้นขอบเขต ที่ $x = 0$: $f = 1$ และเส้นขอบเขตบนคือ $e^0 = 1$ ทั้งสองแตะกัน ที่ $x = \pi$: $\cos\pi = -1$ ดังนั้น $f(\pi) = -e^{-\alpha\pi}$ ซึ่งแตะเส้นขอบเขตล่าง สำหรับ $\alpha = 0.2$ จะได้ $f(\pi) = -0.533488$ และค่าสุดขีดที่ตามกันมาจะหดลงด้วยอัตราส่วนคงที่ $e^{-0.2\pi} = 0.533488$ ทุกครึ่งคาบ ซึ่งเป็นลายเซ็นของการหน่วงแบบเลขชี้กำลัง