ผลรวมรีมันน์

ผลรวมรีมันน์ ประมาณค่าพื้นที่ใต้เส้นโค้ง $y = f(x)$ บน $[a, b]$ โดยการแบ่งช่วงออกเป็น $n$ ช่วงย่อยที่มีความกว้าง $\Delta x = (b-a)/n$ แล้วบวกพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า $n$ รูป:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

โดยที่ $x_i^*$ คือจุดตัวอย่างในช่วงย่อยที่ $i$ ตัวเลือกที่พบบ่อย:

• ผลรวมรีมันน์ ซ้าย: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$
• ผลรวมรีมันน์ ขวา: $x_i^* = a + i \Delta x$
• กฎ จุดกึ่งกลาง: จุดกึ่งกลางของช่วงย่อย (แม่นยำกว่า)

เมื่อ $n \to \infty$ (รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบางลงอย่างไม่จำกัด) ถ้า $f$ หาปริพันธ์ได้ ผลรวมรีมันน์จะลู่เข้าสู่ ปริพันธ์จำกัดเขต:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

นิยามของปริพันธ์ นี้เชื่อมโยงการบวกแบบไม่ต่อเนื่องเข้ากับพื้นที่แบบต่อเนื่อง อันเป็นที่มาของสัญลักษณ์ปริพันธ์ $\int$ ในฐานะตัว "S ที่ยืดออก" ของคำว่า sum ผลรวมรีมันน์ยังเป็นพื้นฐานของการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขทั้งหมด (กฎสี่เหลี่ยมคางหมู กฎของซิมป์สัน)