การหาค่าเหมาะที่สุด (แคลคูลัส)

การหาค่าเหมาะที่สุด คือกระบวนการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน ขั้นตอนมาตรฐาน:

1. ตั้งฟังก์ชัน $f(x)$ ที่ต้องการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดจากโจทย์
2. หาอนุพันธ์ เพื่อให้ได้ $f'(x)$
3. หาจุดวิกฤต: แก้ $f'(x) = 0$ (และระบุตำแหน่งที่ $f'$ ไม่มีอยู่)
4. จำแนกแต่ละจุด: การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง ($f''(c) > 0$ → ต่ำสุด; $< 0$ → สูงสุด) หรือการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับแรก
5. เปรียบเทียบกับจุดปลายหากอยู่บนช่วงปิด (ทฤษฎีบทค่าสุดขีด)

โจทย์คลาสสิก: สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ใหญ่ที่สุดในวงกลม กระป๋องทรงกระบอกราคาถูกที่สุดที่มีปริมาตรคงที่ กล่องที่มีปริมาตรสูงสุดจากแผ่นกระดาษสี่เหลี่ยมจัตุรัส

การหาค่าเหมาะที่สุดแบบหลายตัวแปรใช้ เกรเดียนต์ ($\nabla f = \vec{0}$) และ เมทริกซ์เฮสเซียน การหาค่าเหมาะที่สุดแบบมีข้อจำกัดใช้ ตัวคูณลากรองจ์ เทคนิคนี้เป็นพื้นฐานของการออกแบบทางวิศวกรรม เศรษฐศาสตร์ และการฝึก ML