ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย (MVT) เป็นผลลัพธ์พื้นฐานในแคลคูลัส ถ้า $f$ ต่อเนื่อง บน $[a, b]$ และ หาอนุพันธ์ได้ บน $(a, b)$ จะมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด $c \in (a, b)$ ที่ทำให้

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

ในเชิงเรขาคณิต: เส้นสัมผัสที่ $c$ ขนานกับเส้นตัดที่ผ่าน $(a, f(a))$ และ $(b, f(b))$

สัญชาตญาณ (อุปมาการขับรถ): ถ้าคุณขับได้ 60 ไมล์ใน 1 ชั่วโมง ความเร็วเฉลี่ย ของคุณคือ 60 ไมล์ต่อชั่วโมง MVT รับประกันว่าใน บางขณะ ความเร็วขณะหนึ่ง ของคุณเท่ากับ 60 ไมล์ต่อชั่วโมงพอดี

MVT เป็นกลไกเบื้องหลัง:

• การทดสอบ เพิ่ม/ลด ($f' > 0 \implies$ เพิ่มขึ้น)
• การพิสูจน์ ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
• ขอบเขตความคลาดเคลื่อนในวิธีเชิงตัวเลข (ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์พร้อมพจน์เศษเหลือ)
• ทฤษฎีบทเอกภาพของผลเฉลยสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์

กรณีพิเศษ ($f(a) = f(b)$) คือ ทฤษฎีบทของโรลล์: มีจุด $c$ ที่ $f'(c) = 0$