กฎของไซน์

กฎของไซน์ ใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมทุกรูป (ไม่ใช่เฉพาะสามเหลี่ยมมุมฉาก):

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

โดยที่ $a, b, c$ คือความยาวด้านตรงข้ามมุม $A, B, C$ และ $R$ คือรัศมีวงกลมล้อมรอบ

กรณีการใช้งาน:

1. AAS หรือ ASA: ให้มุมสองมุมและด้านหนึ่ง หาด้านที่เหลือ
2. SSA (กรณีที่มีความกำกวม): ให้ด้านสองด้านและมุมที่ไม่ได้อยู่ระหว่างด้าน อาจได้รูปสามเหลี่ยมศูนย์ หนึ่ง หรือสองรูป — ต้องตรวจสอบเสมอ

กฎของโคไซน์ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ เป็นทฤษฎีบทคู่สำหรับกรณี SSS และ SAS ทั้งสองกฎรวมกันสามารถแก้รูปสามเหลี่ยมทุกรูปได้อย่างสมบูรณ์: ให้ข้อมูลอิสระสามชิ้นใด ๆ คุณสามารถหาค่าทั้งหกได้ (3 ด้าน + 3 มุม)

การพิสูจน์: ลากเส้นสูงจากจุดยอดหนึ่ง ความยาวของมันวัดได้ $b \sin A$ ในทิศทางหนึ่ง และ $a \sin B$ ในอีกทิศทาง ทำให้เท่ากันได้ $a/\sin A = b/\sin B$