กฎของโคไซน์

กฎของโคไซน์ ขยายทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปสู่รูปสามเหลี่ยมใด ๆ:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

โดยที่ $c$ คือด้านตรงข้ามมุม $C$ และ $a, b$ คือด้านอีกสองด้าน อย่างสมมาตร: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

กรณีพิเศษ: เมื่อ $C = 90°$, $\cos 90° = 0$ และสูตรยุบลงเป็น $c^2 = a^2 + b^2$ — ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กรณีการใช้งาน:

• SSS: เมื่อทราบด้านทั้งสาม หามุม: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
• SAS: เมื่อทราบสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างกัน หาด้านที่สามได้โดยตรง

เป็นคู่หูกับ กฎของไซน์ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ เมื่อใช้ร่วมกันทั้งสองจัดการกรณีการแก้รูปสามเหลี่ยมทั้งสี่กรณี (SSS, SAS, ASA, AAS) ได้ — มีเพียง SSA (กรณีกำกวม) เท่านั้นที่ต้องระวังเป็นพิเศษ

กฎของโคไซน์ยังเป็นที่มาเชิงเรขาคณิตของ ผลคูณจุด ในการวิเคราะห์เวกเตอร์อีกด้วย: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$