AI Math
เปิดแอป
calculus

การหาอนุพันธ์โดยปริยาย

การหาอนุพันธ์โดยปริยายจะหา dy/dx เมื่อ y ถูกกำหนดโดยปริยายผ่านสมการ (เช่น x²+y²=25) โดยไม่ต้องแก้หา y ออกมาในรูปชัดแจ้งก่อน

การหาอนุพันธ์โดยปริยาย จะหา dydx\frac{dy}{dx} เมื่อ yy ถูกกำหนดโดยปริยายผ่านสมการ โดยไม่ต้องแก้หา yy ในรูปชัดแจ้งก่อน วิธีนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อการแก้หา yy ทำได้ยากหรือเป็นไปไม่ได้

ขั้นตอน: หาอนุพันธ์ของ ทั้งสองข้าง ของสมการเทียบกับ xx โดยถือว่า yy เป็นฟังก์ชันของ xx (ดังนั้นแต่ละพจน์ที่มี yy จะได้ dydx\frac{dy}{dx} ผ่านกฎลูกโซ่) จากนั้นแก้หา dydx\frac{dy}{dx}

ตัวอย่าง: สำหรับ x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 (วงกลม):

  1. หาอนุพันธ์ทั้งสองข้าง: 2x+2ydydx=02x + 2y \frac{dy}{dx} = 0
  2. แก้สมการ: dydx=−xy\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

วิธีนี้ให้ความชันที่จุดใด ๆ บนวงกลมโดยไม่ต้องใช้ y=±25−x2y = \pm\sqrt{25 - x^2}

การหาอนุพันธ์โดยปริยายเป็นเครื่องมือมาตรฐานสำหรับ:

  • เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ที่ไม่ใช่กราฟของฟังก์ชัน
  • โจทย์ อัตราสัมพัทธ์ (น้ำเติมเข้าไปในกรวย บันไดที่ไถลลงตามผนัง)
  • การหาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันผกผัน (การพิสูจน์ ddxarcsin⁡x=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ใช้วิธีนี้)
  • การแก้สมการเชิงอนุพันธ์และเส้นโค้งที่มีสมบัติคงที่ (เส้นระดับ)