ความต่อเนื่อง

ฟังก์ชัน $f$ จะต่อเนื่องที่ $x = a$ ถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขสามข้อ:

1. $f(a)$ ถูกนิยาม,
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ มีอยู่, และ
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

โดยสัญชาตญาณ: คุณสามารถวาดกราฟผ่านจุดนั้นได้โดยไม่ต้องยกปากกา ความไม่ต่อเนื่องที่พบบ่อยได้แก่ แบบลบได้ (รู), แบบกระโดด (ลิมิตซ้ายและขวาต่างกัน), และ แบบอนันต์ (เส้นกำกับแนวตั้ง)

ความต่อเนื่องเป็นข้อกำหนดเบื้องต้นของทฤษฎีบทแคลคูลัสส่วนใหญ่ ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง กล่าวว่าฟังก์ชันต่อเนื่องรับค่าทุกค่าที่อยู่ระหว่างผลลัพธ์สองค่าใด ๆ ทฤษฎีบทค่าสุดขีด รับประกันว่าฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิดจะมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด การหาอนุพันธ์ได้ต้องอาศัยความต่อเนื่อง แต่ความต่อเนื่องไม่ได้หมายความว่าหาอนุพันธ์ได้ — $|x|$ ต่อเนื่องทุกที่แต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ $0$