จำนวนตรรกยะ vs อตรรกยะ

ตรรกยะ และ อตรรกยะ เป็นสองครึ่งของจำนวนจริง — จำนวนจริงทุกตัวเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งพอดี

จำนวนตรรกยะ

จำนวนจริงเป็น ตรรกยะ ถ้าเขียนได้ในรูป $\frac{p}{q}$ โดยที่ $p, q$ เป็นจำนวนเต็มและ $q \neq 0$

ลักษณะทศนิยม: จำนวนตรรกยะมีทศนิยมที่ รู้จบ ($0.25 = \frac{1}{4}$) หรือในที่สุด ซ้ำ ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$)

เซตของจำนวนตรรกยะเขียนแทนด้วย $\mathbb{Q}$ แม้จะหนาแน่น (ระหว่างจำนวนตรรกยะสองตัวใด ๆ มีตรรกยะอีกตัวเสมอ) จำนวนตรรกยะก็ นับได้ — มีภาวะเชิงการนับเท่ากับ $\mathbb{N}$

จำนวนอตรรกยะ

ไม่สามารถเขียนเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มได้ ทศนิยม ไม่รู้จบและไม่ซ้ำ

อตรรกยะที่มีชื่อเสียง:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (อัตราส่วนทอง) $= (1 + \sqrt{5})/2$

เซตของจำนวนอตรรกยะ นับไม่ได้ — ใหญ่กว่าตรรกยะอย่างเคร่งครัด แม้ตรรกยะจะหนาแน่น

ทำไมเรื่องนี้จึงสำคัญ

• การที่ $\sqrt{2}$ เป็นอตรรกยะเป็นการค้นพบของพีทาโกรัสที่มีชื่อเสียง (ตำนาน: ฮิปพาซัสถูกจับกดน้ำให้ตายเพราะเปิดเผยเรื่องนี้)
• การที่ $\pi$ เป็นอตรรกยะหมายความว่าคุณไม่มีทางเขียนมันเป็นเศษส่วนได้
• ทศนิยมของ $1/7 = 0.\overline{142857}$ — คาบของการซ้ำยาวไม่เกิน $q - 1$

วิธีทดสอบ

ถ้าคุณมีจำนวนหนึ่ง ให้ถามว่า:

• ทศนิยมรู้จบ → ตรรกยะ
• ทศนิยมซ้ำด้วยคาบที่ชัดเจน → ตรรกยะ
• ทศนิยมดำเนินต่อไปโดยไม่ซ้ำ (เช่น $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → อตรรกยะ

การทดสอบเชิงพีชคณิตใช้สมบัติปิด: ตรรกยะปิดภายใต้ $+, -, \times, /$ (ยกเว้น 0) ผลบวกของอตรรกยะสองตัว อาจเป็นตรรกยะ ได้ (เช่น $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$)