การแปรผันตรง vs ผกผัน

การแปรผันตรง และ การแปรผกผัน เป็นความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อยที่ง่ายที่สุดสองแบบระหว่างตัวแปร — และเป็นพื้นฐานในการเข้าใจแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า

การแปรผันตรง: y = kx

ปริมาณสองอย่าง แปรผันตรง กันถ้า $y = k x$ สำหรับค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ $k$ (ค่าคงตัวของการแปรผัน หรือ ค่าคงตัวของสัดส่วน)

• เมื่อ $x$ เป็นสองเท่า $y$ เป็นสองเท่า
• เมื่อ $x$ เป็นครึ่งหนึ่ง $y$ เป็นครึ่งหนึ่ง
• กราฟผ่านจุดกำเนิดด้วยความชัน $k$

ตัวอย่าง: ระยะทาง vs เวลาที่อัตราเร็วคงที่ ($d = v t$), กฎของฮุก ($F = k x$), ค่าจ้างอย่างง่าย ($\text{ค่าจ้าง} = \text{อัตรา} \cdot \text{ชั่วโมง}$)

การแปรผกผัน: y = k/x

ปริมาณสองอย่าง แปรผกผัน กันถ้า $y = k/x$

• เมื่อ $x$ เป็นสองเท่า $y$ เป็นครึ่งหนึ่ง
• เมื่อ $x \to \infty$ จะได้ $y \to 0$
• กราฟเป็นไฮเพอร์โบลา ไม่ตัดแกนเลย

ตัวอย่าง: กฎของบอยล์ (ความดัน × ปริมาตร = ค่าคงที่ที่อุณหภูมิคงที่), เวลาสำหรับงานที่กำหนด ($t = \text{ระยะทาง} / v$), รูปแบบต่าง ๆ ของกฎของโอห์ม

วิธีบอกว่าเป็นแบบใดจากข้อมูล

เขียนกราฟ $y$ เทียบกับ $x$ ถ้าจุดอยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด เป็นการแปรผันตรง ถ้าอยู่บนไฮเพอร์โบลาที่ลดลงสู่ศูนย์ เป็นการแปรผกผัน หรือตรวจสอบว่า $\frac{y}{x}$ คงที่หรือไม่ (ตรง) เทียบกับ $xy$ คงที่ (ผกผัน)

การแปรผันร่วมและการแปรผันรวม

• การแปรผันร่วม: $y = kxz$ (ตัวแปรแบบตรงสองตัว)
• แบบรวม: $y = kx/z$ (ตรงหนึ่ง ผกผันหนึ่ง) ตัวอย่าง: แรงโน้มถ่วง $F = G m_1 m_2 / r^2$ — แปรผันตรงตามมวล แปรผกผันกับกำลังสองของระยะทาง

บทสรุป

ระบุด้วยคำถาม "เมื่อตัวหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกตัวเพิ่มหรือลด และในสัดส่วนใด?" ตรง → ทั้งคู่เคลื่อนไปด้วยกัน; ผกผัน → ทิศตรงข้ามด้วยสัดส่วนกลับ