การคูณเมทริกซ์: คู่มือทีละขั้นตอนพร้อมตัวอย่างที่ทำให้ดู

การคูณเมทริกซ์คือการดำเนินการที่ขับเคลื่อนพีชคณิตเชิงเส้น คอมพิวเตอร์กราฟิก การเรียนรู้ของเครื่อง และการจำลองทางฟิสิกส์ ทว่านักเรียนส่วนใหญ่เรียนรู้มันในฐานะสูตรเชิงกลไก และไม่เคยเห็นว่าทำไมมันจึงถูกนิยามแบบนั้น คู่มือนี้ให้คุณทั้งสูตร และ สัญชาตญาณความเข้าใจ

กฎเรื่องมิติก่อน

ก่อนจะคำนวณอะไร ให้ตรวจสอบมิติ ในการคูณ $A \cdot B$:

• $A$ ต้องมีขนาด $m \times n$
• $B$ ต้องมีขนาด $n \times p$
• ผลลัพธ์ $AB$ มีขนาด $m \times p$

มิติด้านในต้องตรงกัน ($n = n$); มิติด้านนอกจะกลายเป็นขนาดของผลลัพธ์

ถ้าคุณลองคูณเมทริกซ์ $3 \times 4$ กับ $5 \times 2$ การดำเนินการนี้ไม่นิยาม — ไม่ว่าจะคำนวณอย่างไรก็ช่วยไม่ได้

สูตรแถวคูณหลัก

สมาชิกตำแหน่ง $(i, j)$ ของ $AB$ คือผลคูณจุดของแถวที่ $i$ ของ $A$ กับหลักที่ $j$ ของ $B$:

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

ตัวอย่างที่ทำให้ดู

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

คำนวณ $AB$:

• $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
• $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
• $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
• $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

ดังนั้น $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$

ทำไมการคูณจึงนิยามแบบนี้?

เมทริกซ์แทนการส่งเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ ถ้า $A$ ส่งจาก $\mathbb{R}^n$ ไปยัง $\mathbb{R}^m$ และ $B$ ส่งจาก $\mathbb{R}^p$ ไปยัง $\mathbb{R}^n$ แล้ว $AB$ ก็ควรเป็นการประกอบของการส่งเหล่านั้น กฎแถวคูณหลักคือสิ่งที่ผลิตการประกอบขึ้นมาพอดี สูตรนี้ไม่ได้ตั้งขึ้นมาลอย ๆ — มันออกมาจากข้อกำหนดที่ว่า $AB$ ต้องเข้ารหัสว่า "ใช้ $B$ ก่อน แล้วจึงใช้ $A$"

สมบัติ (และสิ่งที่ไม่ใช่สมบัติ!)

สมบัติ	เป็นจริงไหม?
$A(BC) = (AB)C$ การเปลี่ยนหมู่	ใช่
$A(B + C) = AB + AC$ การกระจาย	ใช่
$AB = BA$ การสลับที่	ไม่ โดยทั่วไป
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ หรือ $B = 0$	ไม่

การที่สลับที่ไม่ได้คือการปรับความคิดที่ใหญ่ที่สุดเมื่อเทียบกับเลขคณิตของสเกลาร์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

• บวกแทนที่จะคูณผลคูณแถว-หลัก (คุณทำทั้งสอง — คูณเป็นคู่ ๆ แล้วจึงบวก)
• สลับลำดับการตรวจสอบมิติ — ต้องเป็น $(m \times n)(n \times p)$ ไม่ใช่ $(n \times m)(n \times p)$
• สมมติว่าสลับที่ได้ — $AB$ อาจไม่ถูกนิยามด้วยซ้ำ แม้ว่า $BA$ จะถูกนิยาม

ลองใช้กับตัวแก้เมทริกซ์ AI

พิมพ์คู่เมทริกซ์ใด ๆ ลงใน เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ เพื่อดูวิธีทำทีละแถวอย่างครบถ้วน

อ้างอิงที่เกี่ยวข้อง:

• เครื่องคิดเลขดีเทอร์มิแนนต์ — เข้าคู่กับผลคูณ $2\times 2$ ได้อย่างเป็นธรรมชาติ
• เครื่องคิดเลขเมทริกซ์ผกผัน — ใช้ $AB = I$ เป็นความสัมพันธ์นิยาม
• เครื่องคิดเลขเวกเตอร์ — ผลคูณจุดเป็นรากฐานของสมาชิกทุกตัว