В правильной четырёхугольной пирамиде T.ABCD сторона основания AB = a см, высота t см. Точка P лежит на продолжении AB, причём BP = AB; точка Q — на продолжении CB, причём BQ = CB; точка K лежит на TB, причём TK = 2KB. Плоскость PQK делит пирамиду на две части. Найдите объём каждой части.

Step-by-step solution

1. 1

   Помещаем тело в систему координат. Расположим квадратное основание в плоскости $z=0$: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$. В правильной пирамиде вершина лежит над центром основания, поэтому $T\left(\tfrac a2,\tfrac a2,t\right)$. Объём всей пирамиды равен $V=\tfrac13 a^2t$.

2. 2

   Находим координаты трёх заданных точек. Продолжив $AB$ за точку $B$ ещё на длину $a$, получаем $P(2a,0,0)$. Продолжив $CB$ за $B$ на $a$, получаем $Q(a,-a,0)$. Из условия $TK=2KB$ точка $K$ делит $TB$ в отношении $TK:KB=2:1$, поэтому $K=T+\tfrac23(B-T)=\left(\tfrac{5a}{6},\tfrac a6,\tfrac t3\right)$.

3. 3

   Составляем уравнение секущей плоскости. Положив для выкладок $a=t=1$, имеем $\vec{PQ}=(-1,-1,0)$ и $\vec{PK}=\left(-\tfrac76,\tfrac16,\tfrac13\right)$; их векторное произведение пропорционально $(1,-1,4)$. Значит, плоскость задаётся уравнением $x-y+4z=2$, и подстановка $Q$ и $K$ подтверждает, что обе точки ей принадлежат. Заметим, что основания квадрата плоскость вовсе не задевает (при $z=0$ она даёт прямую $x-y=2$, тогда как над основанием $x-y\le 1$), поэтому сечение пересекает только четыре боковых ребра.

4. 4

   Находим точки пересечения плоскости с каждым боковым ребром. Подставив параметрическое задание каждого ребра в $x-y+4z=2$, получаем: точку $M$ на $TA$ с $TM:TA=\tfrac12$; точку $K$ на $TB$ с $TK:TB=\tfrac23$; точку $N$ на $TC$ с $TN:TC=\tfrac12$; точку $L$ на $TD$ с $TL:TD=\tfrac25$. Сечением служит четырёхугольник $MKNL$, а верхней частью — тело $T.MKNL$.

5. 5

   Разбиваем верхнюю часть на два тетраэдра и применяем правило отношений. Для тетраэдра умножение трёх рёбер, выходящих из общей вершины, на коэффициенты $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ умножает объём на $\lambda_1\lambda_2\lambda_3$. Так как объёмы $T.ABC$ и $T.ACD$ равны каждый $\tfrac12 V=\tfrac16 a^2t$, получаем $[T.MKN]=\tfrac12\cdot\tfrac23\cdot\tfrac12\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{36}a^2t$ и $[T.MNL]=\tfrac12\cdot\tfrac12\cdot\tfrac25\cdot\tfrac16a^2t=\tfrac{1}{60}a^2t$.

6. 6

   Складываем тетраэдры и вычитаем из целого. Так как $\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{60}=\tfrac{5}{180}+\tfrac{3}{180}=\tfrac{8}{180}=\tfrac{2}{45}$, часть, содержащая вершину, имеет объём $\tfrac{2}{45}a^2t$. Другая часть равна $\tfrac13a^2t-\tfrac{2}{45}a^2t=\tfrac{15-2}{45}a^2t=\tfrac{13}{45}a^2t$.

7. 7

   Проверяем методом Монте-Карло. Выбрав четыре миллиона равномерно распределённых точек в пирамиде единичных размеров ($a=t=1$) и проверив условие $x-y+4z>2$, получаем $0.04436$ для части с вершиной и $0.28864$ для другой — против точных значений $\tfrac{2}{45}=0.04444$ и $\tfrac{13}{45}=0.28889$.