В правильной четырёхугольной пирамиде T.ABCD точка P — середина AD, а точка Q — середина AB. Через прямую PQ проведена плоскость, параллельная ребру TA. Найдите отношение объёмов двух частей, на которые эта плоскость делит пирамиду.

Step-by-step solution

1. 1

   Вводим координаты. Положим $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ и вершину $T\left(\tfrac12,\tfrac12,1\right)$; отношение объёмов не зависит ни от стороны основания, ни от высоты, поэтому достаточно единичной пирамиды объёма $\tfrac13$. Тогда $P\left(0,\tfrac12,0\right)$ и $Q\left(\tfrac12,0,0\right)$.

2. 2

   Строим плоскость по двум условиям. Она обязана содержать $\vec{PQ}=\left(\tfrac12,-\tfrac12,0\right)$ и быть параллельной $\vec{TA}=\left(-\tfrac12,-\tfrac12,-1\right)$. Их векторное произведение пропорционально $(1,1,-1)$, поэтому плоскость задаётся уравнением $x+y-z=\tfrac12$. Проверка: $\vec{TA}\cdot(1,1,-1)=-\tfrac12-\tfrac12+1=0$, значит плоскость действительно параллельна $TA$, а точки $P$ и $Q$ уравнению удовлетворяют.

3. 3

   Находим сечение. На основании $z=0$ плоскость высекает отрезок $PQ$. Ребро $TB$ она пересекает в его середине $R$; ребро $TD$ — в его середине $S$; ребро $TC$ — в точке $U$, для которой $TU:TC=\tfrac14$, то есть $U\left(\tfrac58,\tfrac58,\tfrac34\right)$. Ребро $TA$ параллельно плоскости и не пересекается с ней вовсе. Сечение — пятиугольник $Q\,R\,U\,S\,P$.

4. 4

   Определяем, какие вершины попали в какую часть. Для $f(x,y,z)=x+y-z$ получаем $f(A)=0$ и $f(T)=0$ — обе меньше $\tfrac12$, тогда как $f(B)=f(D)=1$ и $f(C)=2$ больше. Значит, одна часть содержит ребро $TA$, а другая — точки $B$, $C$ и $D$.

5. 5

   Считаем меньшую часть послойно, горизонтальными сечениями. На высоте $z$ сечение пирамиды — квадрат $x,y\in\left[\tfrac z2,1-\tfrac z2\right]$ со стороной $L=1-z$. Сдвиг $u=x-\tfrac z2$, $v=y-\tfrac z2$ превращает условие $x+y<\tfrac12+z$ в $u+v<\tfrac12$, поэтому площадь равна $\tfrac18$, пока $L\ge\tfrac12$, затем $L^2-\tfrac12\left(2L-\tfrac12\right)^2$, и наконец $L^2$, как только $2L<\tfrac12$.

6. 6

   Интегрируем три куска. $\int_0^{1/2}\tfrac18\,dz=\tfrac1{16}$; $\int_{1/2}^{3/4}\left[(1-z)^2-\tfrac12(1.5-2z)^2\right]dz=\tfrac{5}{192}$; $\int_{3/4}^{1}(1-z)^2dz=\tfrac{1}{192}$. В сумме $\tfrac{12}{192}+\tfrac{5}{192}+\tfrac{1}{192}=\tfrac{18}{192}=\tfrac{3}{32}$.

7. 7

   Составляем отношение. Вся пирамида имеет объём $\tfrac13=\tfrac{32}{96}$, меньшая часть — $\tfrac{3}{32}=\tfrac{9}{96}$, значит вторая часть равна $\tfrac{23}{96}$, а отношение составляет $9:23$. Проверка методом Монте-Карло на шести миллионах точек дала $0.09378$ против точного $\tfrac{3}{32}=0.09375$.