Из пяти квадратов со стороной 1 см, соединённых сторона к стороне, составьте две фигуры с разными периметрами. Укажите периметр каждой фигуры.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимаем, почему площадь не определяет периметр. В любой конструкции используются одни и те же пять квадратов, поэтому площадь каждой фигуры равна $5\ \text{см}^2$. А вот периметр зависит от того, как квадраты соприкасаются, — в этом и смысл задания: равная площадь не обязывает периметры быть равными.

2. 2

   Выводим правило подсчёта. Пять отдельных квадратов дали бы $5\times 4=20$ единичных сторон. Каждый раз, когда два квадрата склеиваются, у каждого прячется по одной стороне, и из общей суммы уходит $2$:

   $\text{периметр}=20-2\times(\text{число общих сторон})$

   Значит, фигура с меньшим числом внутренних контактов имеет больший периметр.

3. 3

   Фигура 1 — прямой ряд из пяти квадратов. В строке каждый квадрат касается только непосредственных соседей, что даёт $4$ общие стороны:

   $P=20-2(4)=12\ \text{см}$

   Прямая проверка: ряд имеет размеры $5$ см на $1$ см, поэтому $P=2(5+1)=12$ см.

4. 4

   Фигура 2 — три квадрата в ряд и два сверху. Возьмём клетки $(0,0),(1,0),(2,0)$ внизу и $(0,1),(1,1)$ сверху. Контакты таковы: $(0,0)\!-\!(1,0)$, $(1,0)\!-\!(2,0)$, $(0,1)\!-\!(1,1)$, $(0,0)\!-\!(0,1)$ и $(1,0)\!-\!(1,1)$ — пять общих сторон:

   $P=20-2(5)=10\ \text{см}$

5. 5

   Проверяем фигуру 2 обходом границы. Начнём из левого нижнего угла и пойдём по часовой стрелке: вверх $2$, вправо $2$, вниз $1$, вправо $1$, вниз $1$, влево $3$. Итого $2+2+1+1+1+3=10$ см, что совпадает с формулой.

6. 6

   Формулируем ответ и лежащий за ним принцип.

   $\boxed{\text{прямой ряд: }12\ \text{см};\quad 3\text{ плюс }2\text{ — блок: }10\ \text{см}}$

   Уголок из пяти квадратов (три в ряд и два вверх с краю) тоже имеет всего $4$ общие стороны и потому даёт $12$ см — столько же, сколько ряд. Периметр уменьшает компактность, а не внешняя «изломанность» фигуры.