Во вписанном четырёхугольнике ABCD проведена касательная l к описанной окружности в точке A. Прямая l пересекает прямую CD в точке P, причём AD = 3, DP = 8 и PA = 10. Найдите длину CD.

Step-by-step solution

1. 1

   Разбираемся с конфигурацией в точке P. Из внешней точки $P$ к окружности проведены две линии: касательная $PA$, касающаяся окружности в точке $A$, и секущая, проходящая через $D$ и $C$. Это в точности условия теоремы о касательной и секущей (о степени точки).

2. 2

   Формулируем теорему. Степень точки $P$ относительно окружности можно вычислить двумя способами, и это даёт

   $PA^{2}=PD\cdot PC$

   где $PD$ и $PC$ — расстояния от $P$ до ближней и дальней точек пересечения секущей с окружностью. Обратите внимание: длина касательной входит в квадрате, а секущая даёт произведение целиком — не $PD\cdot DC$.

3. 3

   Подставляем данные длины.

   $10^{2}=8\cdot PC\quad\Longrightarrow\quad 100=8\,PC\quad\Longrightarrow\quad PC=\frac{100}{8}=\frac{25}{2}=12.5$

4. 4

   Вычитанием получаем хорду. Точка $D$ лежит на секущей между $P$ и $C$, поэтому

   $CD=PC-PD=\frac{25}{2}-8=\frac{25}{2}-\frac{16}{2}=\frac92=4.5$

   $\boxed{CD=\dfrac92}$

5. 5

   Проверяем согласованность. Так как $PD=8<PC=12.5$, точка $D$ действительно оказывается ближней точкой пересечения, как мы и предполагали. Кроме того, $PA=10$ лежит строго между $PD=8$ и $PC=12.5$, и к этому вынуждает сама теорема: $PA=\sqrt{PD\cdot PC}$ — среднее геометрическое двух чисел, а оно всегда расположено между ними. Данное $AD=3$ в этом пункте не нужно — оно относится к следующим пунктам задачи.

6. 6

   Отметим неравенство треугольника как дополнительную проверку. В треугольнике $APD$ стороны равны $PA=10$, $PD=8$ и $AD=3$: $8+3=11>10$ ✓, значит, такой треугольник существует и конфигурация непротиворечива.