Треугольник с вершинами (2,3), (4,3) и (3,5) подвергается преобразованию (x, y) → (−x, −y). Что это: параллельный перенос, отражение относительно оси y, поворот на 180° вокруг начала координат или отражение относительно оси x?

Step-by-step solution

1. 1

   Сравним правило с типовыми преобразованиями. Для каждого базового преобразования характерна своя формула координат:

   $\text{reflect in }y\text{-axis}:(x,y)\to(-x,y);\quad \text{reflect in }x\text{-axis}:(x,y)\to(x,-y)$

   $\text{rotate }180^{\circ}\text{ about }O:(x,y)\to(-x,-y);\quad \text{translate}:(x,y)\to(x+h,y+k)$

   В данном случае меняются знаки обеих координат, что совпадает только с третьим вариантом.

2. 2

   Исключим параллельный перенос. При параллельном переносе к каждой точке прибавляется один и тот же вектор. Здесь $(2,3)\to(-2,-3)$ — сдвиг на $(-4,-6)$, а $(3,5)\to(-3,-5)$ — на $(-6,-10)$, то есть векторы разные. Значит, это не параллельный перенос.

3. 3

   Исключим оба отражения. При отражении относительно оси $y$ $y$ не меняется, $(2,3)$ переходит в $(-2,3)$; при отражении относительно оси $x$ $x$ не меняется, точка переходит в $(2,-3)$. Ни один из этих вариантов не даёт образ $(-2,-3)$.

4. 4

   Проверим геометрически, что это поворот на 180°. Для любой точки $P=(x,y)$ её образ $P'=(-x,-y)$ таков: начало координат — середина отрезка $PP'$, ведь $\tfrac{x+(-x)}{2}=0$ и $\tfrac{y+(-y)}{2}=0$, а расстояние $|OP'|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=|OP|$. То есть точка переходит на ту же длину, но в противоположном направлении — это и есть поворот на $180^{\circ}$ вокруг начала координат.

   $\boxed{\text{C: a }180^{\circ}\text{ rotation about the origin, e.g. }(2,3)\to(-2,-3)}$

5. 5

   Применим преобразование ко всему треугольнику и отметим свойство. Образы вершин: $(-2,-3)$, $(-4,-3)$ и $(-3,-5)$. Поворот на 180° — это движение, сохраняющее длины и углы, но, в отличие от отражения, сохраняет ориентацию: порядок обхода вершин остаётся прежним. Кроме того, это преобразование является обратным само себе: если применить его дважды, все точки вернутся на исходные места.