Найдите центр и радиус окружности (x − 5)² + (y + 3)² = 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем стандартный вид уравнения окружности. Окружность с центром в точке $(h,k)$ и радиусом $r$ задаётся уравнением

   $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

   В каждом скобочном выражении стандартного вида стоит именно минус — это важно для следующего шага.

2. 2

   Сравним скобку с x. $(x-5)^{2}$ соответствует $(x-h)^{2}$ при $h=5$ — значение $h$ сразу видно.

3. 3

   Внимательно сравним скобку с y. Дана скобка $(y+3)^{2}$, а чтобы привести её к стандартному виду, перепишем как разность:

   $(y+3)^{2}=\big(y-(-3)\big)^{2}\quad\Longrightarrow\quad k=-3$

   Ошибка знака — частая ловушка: $k$ здесь именно $-3$, а не $3$.

4. 4

   Определим радиус. Правая часть уравнения равна $r^{2}$, а не $r$:

   $r^{2}=9\quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt9=3$

   (Берём только положительный корень, так как радиус — это длина.)

5. 5

   Запишем ответ.

   $\boxed{\text{центр }(5,-3),\quad \text{радиус }3}$

6. 6

   Проверим точку на окружности. Если от центра отложить $3$ единицы вправо, получаем $(8,-3)$; подставляем: $(8-5)^{2}+(-3+3)^{2}=9+0=9$ — верно. Если вверх — $(5,0)$: $0+9=9$ — тоже верно. Значит, центр и радиус определены правильно.