Пусть угол xAy острый, точка B лежит на луче Ax, а внутри угла xAy проведён луч Bm, параллельный Ay. Пусть Au и Bv — биссектрисы углов xAy и xBm соответственно. (а) Доказать, что Au параллельна Bv. (б) Если Bz — биссектриса угла ABm, доказать, что угол vBz = 90°. (в) Сделать вывод, что Bz перпендикулярна Au.

Step-by-step solution

1. 1

   (а) Перенос угла с помощью параллельного луча. Так как $Bm\parallel Ay$, а $Ax$ — секущая, пересекающая их в точках $A$ и $B$, углы $\angle xBm$ и $\angle xAy$ — это соответственные углы, значит, они равны:

   $\angle xBm=\angle xAy$

2. 2

   Делим оба равных угла пополам. Биссектрисы делят равные углы на равные части, поэтому

   $\angle xBv=\tfrac12\angle xBm=\tfrac12\angle xAy=\angle xAu$

   Эти два угла снова являются соответственными для секущей $Ax$, пересекающей $Au$ и $Bv$. Равенство соответственных углов означает, что прямые параллельны:

   $Au\parallel Bv$

3. 3

   (б) Выделяем смежную пару углов при B. Точки $A$, $B$ и направление $x$ лежат на одной прямой, причём $B$ между $A$ и направлением $x$, значит, лучи $BA$ и $Bx$ противоположны. Следовательно, $\angle ABm$ и $\angle xBm$ — смежные:

   $\angle ABm+\angle xBm=180^{\circ}$

4. 4

   Делим смежные углы пополам. $Bz$ — биссектриса $\angle ABm$, а $Bv$ — биссектриса $\angle xBm$, и эти углы примыкают друг к другу, значит

   $\angle vBz=\tfrac12\angle xBm+\tfrac12\angle ABm=\tfrac12\left(\angle xBm+\angle ABm\right)=\tfrac12(180^{\circ})=90^{\circ}$

   $\boxed{\angle vBz=90^{\circ}}$

   Это общий факт: биссектрисы двух смежных (дополнительных) углов всегда перпендикулярны.

5. 5

   (в) Объединяем результаты. Из пункта (б) $Bz\perp Bv$. Из пункта (а) $Bv\parallel Au$. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных, перпендикулярна и другой, значит

   $Bz\perp Au$

   $\boxed{Au\parallel Bv,\quad \angle vBz=90^{\circ},\quad Bz\perp Au}$

6. 6

   Проверим на конкретном примере. Пусть $\angle xAy=60^{\circ}$. Тогда $\angle xBm=60^{\circ}$, значит $\angle xBv=30^{\circ}=\angle xAu$ ✓ (равные соответственные углы). Также $\angle ABm=120^{\circ}$, значит $\angle ABz=60^{\circ}$ и $\angle vBz=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$ ✓. Обратите внимание: в пункте (в) $Bz\perp Au$, а не $Bz\perp Ay$ — это разные прямые, если только $Au$ не совпадает с $Ay$.