Луч Mx и луч Ny параллельны, точка P лежит между ними. Угол xMP = 110°, угол yNP = 140°. Найдите угол MPN.

Step-by-step solution

1. 1

   Проводим вспомогательную прямую через P, параллельную обеим. Данные углы расположены в разных вершинах, поэтому пока они не связаны между собой. Проведём через $P$ луч $Pz$, параллельный $Mx$ (а значит, и $Ny$). Тогда $\angle MPN$ разбивается на две части, каждую из которых можно связать с одним из данных углов.

2. 2

   Используем односторонние углы при M. $Mx\parallel Pz$, секущая — $MP$, значит, $\angle xMP$ и $\angle MPz$ — односторонние и в сумме дают $180^{\circ}$:

   $\angle MPz=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

3. 3

   Используем односторонние углы при N. Аналогично, $Ny\parallel Pz$, секущая — $NP$:

   $\angle NPz=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$

4. 4

   Складываем две части. Так как $Pz$ проходит внутри $\angle MPN$ (это гарантирует условие, что «$P$ лежит между двумя прямыми»),

   $\angle MPN=\angle MPz+\angle NPz=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$

   $\boxed{110^{\circ}}$

5. 5

   Обсуждаем сокращённый способ и его применимость. То же вычисление можно записать одной строкой:

   $\angle MPN=360^{\circ}-110^{\circ}-140^{\circ}=110^{\circ}$

   Потому что три угла $\angle xMP$, $\angle MPN$ и $\angle yNP$ «замыкаются» вокруг вспомогательной прямой. Этот способ работает, когда точка действительно лежит между параллельными; если бы она была вне полосы, две части пришлось бы вычитать, а не складывать.

6. 6

   Проверяем разумность ответа. Оба данных угла — тупые, значит, каждый даёт при $P$ острый кусок ($70^{\circ}$ и $40^{\circ}$), а их сумма $110^{\circ}$ — тоже тупой, но меньше $180^{\circ}$, что согласуется с положением $P$ строго между прямыми.