В треугольнике ABC отрезок AF — высота к стороне BC, а AD — биссектриса угла BAC. Известно, что угол B = 36 градусов и угол C = 76 градусов. Найдите три угла треугольника ADF.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим угол при вершине A. Сумма углов $\triangle ABC$ равна $180^{\circ}$:

   $\angle A=180^{\circ}-36^{\circ}-76^{\circ}=68^{\circ}$

2. 2

   Через высоту находим ∠BAF. В прямоугольном треугольнике $ABF$ угол при вершине $F$ равен $90^{\circ}$, поэтому

   $\angle BAF=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$

3. 3

   Через биссектрису находим ∠BAD.

   $\angle BAD=\frac{\angle A}{2}=\frac{68^{\circ}}{2}=34^{\circ}$

   Так как $34^{\circ}<54^{\circ}$, луч $AD$ лежит между $AB$ и $AF$, а значит, точка $D$ расположена на основании между $B$ и $F$.

4. 4

   Вычитанием получаем угол при вершине A в треугольнике ADF.

   $\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=54^{\circ}-34^{\circ}=20^{\circ}$

5. 5

   Выписываем два оставшихся угла. Так как $AF\perp BC$, а точка $D$ лежит на $BC$, то

   $\angle AFD=90^{\circ}$

   и сумма углов $\triangle ADF$ равна $180^{\circ}$:

   $\angle ADF=180^{\circ}-20^{\circ}-90^{\circ}=70^{\circ}$

   $\boxed{\angle DAF=20^{\circ},\ \angle AFD=90^{\circ},\ \angle ADF=70^{\circ}}$

6. 6

   Проверяем ∠ADF вторым способом, через треугольник ABD. В $\triangle ABD$ имеем $\angle ABD=36^{\circ}$ и $\angle BAD=34^{\circ}$, поэтому $\angle ADB=110^{\circ}$. Точки $B$, $D$, $F$ лежат на одной прямой, значит, $\angle ADF=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$ ✓ — результат совпал с первым способом.

7. 7

   Отметим общее правило, которое здесь работает. Угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины, всегда равен половине разности двух других углов: $\tfrac12\left(\angle C-\angle B\right)=\tfrac12(76^{\circ}-36^{\circ})=20^{\circ}$ — это в точности $\angle DAF$. Остерегайтесь готовых решений, где $\angle AFD$ указан отличным от $90^{\circ}$: основание высоты по определению даёт прямой угол.